Determine a solução:

a) x¨ + 4x = 0, x(0) = 0 e x˙(0) = 1

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 4 x = 0 → λ 2 e λ t + λ + e λ t = e λ t λ 2 + 4 = 0

e λ t λ 2 + 4 = 0 → λ 2 + 4 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 0   e   c = 4 , assim:

λ ' e   λ " =   - 0 ± 0 2 - 4 1 4 2 1 = ± - 16 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

± 16 i 2 2 = ± ( 4 i ) 2 2 = ± 4     2 i = ± 2 i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = 0   e   β = 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e 0 t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t   = A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

Passo 4

Agora que temos x t podemos achar os valores de A   e   B usando x 0 e   o   x ˙ ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o x ˙ t .

x ˙ t = d ( x t ) d t = d A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t d t = - 2 A sin ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

Passo 5

Substituindo o 0   em x t   e   x ˙ ( t ) , teremos:

x 0 = 0 = A cos ⁡ 2 ( 0 ) + B sin ⁡ 2 ( 0 ) = A × 1 + B × 0 = A → A = 0

x ˙ 0 = 1 = - 2 A sin ⁡ 2 ( 0 ) + 2 B cos ⁡ 2 ( 0 ) = - 2 A × 0 + 2 B × 1 = 2 B → 2 B = 1 → B = 1 2  

Substituindo em x t :

x t = 0 cos ⁡ 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t = 1 2 sin ⁡ 2 t

Resposta

x t = 1 2 sin ⁡ 2 t

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