1. Resolva a equação

n) 2 \* d^2x/dt^2 + dx/dt - x = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e   λ 1 ≠   λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   d a   e q u a ç ã o   h o m o g ê n e a   λ 2 + b λ + c = 0   s e r á  
  2.   x = A e λ 1 t + B e λ 2 t

  3. s e   λ 1 = λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   s e r á

x = A e λ 1 t + B t e λ 1 t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

2 d 2 x d t 2 + d x d t - x = 0

Transformando no formato λ 2 + b λ + c = 0 ,

2 λ 2 + λ - 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo...

2 λ 2 + λ - 1 = 0

λ 2 + λ 2 - 1 2 = 0

λ + 1 λ - 1 2

As raízes dessa equação homogênea são,

λ 1 = - 1 ,     λ 2 = 1 2

Pelo teorema, λ 1 ≠ λ 2

Então a solução geral da equação,

x = A e - 1 ⋅ t + B e 1 2 ⋅ t

Resposta

x = A e - t + B e 1 2 t

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