Determine a solução

h) d^2y/dt^2 - 3\*dy/dt + 2y = t^2

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

y t = y h + y p

Sendo y h uma solução homogênea e y p a parte da solução particular.

Para achar o y h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 0

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → d y d t = λ e λ t → d 2 y d t 2 = λ 2 e λ t , assim:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 0 → λ 2 e λ t - 3 λ e λ t + 2 e λ t = e λ t λ 2 - 3 λ + 2 = 0

e λ t λ 2 - 3 λ + 2 = 0 → λ 2 - 3 λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = - 3   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   3 ± - 3 2 - 4 1 2 2 1 = 3 2 ± 1 2 → 3 2 + 1 2 = 2 3 2 - 1 2 = 1

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 ≠   λ 2 então podemos reescrever x como sendo:

x h t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x h t = A e 2 t + B e 1 t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que para o nosso caso f t = t 2 , ou seja, vamos considerar f t = P l , como P l genérico tem o mesmo grau que f t e no nosso caso é um polinômio de grau 2, vamos dizer que P l = a t 2 + b t + c

Daí substituímos na equação e teremos:

d 2 x d t 2 - 3 d x d t + 2 x = t 2 → d 2 a t 2 + b t + c d t 2 - 3 d a t 2 + b t + c d t + 2 a t 2 + b t + c = t 2

2 a - 3 2 a t + b + 2 a t 2 + 2 b t + 2 c = t 2 → 2 a - 6 a t - 3 b + 2 a t 2 + 2 b t + 2 c = t 2

2 a + 2 c - 3 b = 0 - 6 a t + 2 b t = 0 2 a t 2 = t 2

Resolvendo para 2 a t 2 = t 2 → a = 1 2

Resolvendo para - 6 a t + 2 b t = 0 → 2 b = 6 a → b = 3 2

Resolvendo para 2 a + 2 c - 3 b = 0 → 2 c = 3 b - 2 a → 2 c = 9 2 - 1 → 2 c = 7 2 → c = 7 4

Assim:

x p = 1 2 t 2 + 3 2 t + 7 4

Passo 4

Substituindo:

x t = A e 2 t + B e 1 t   + 1 2 t 2 + 3 2 t + 7 4

Resposta

x t = A e 2 t + B e 1 t   + 1 2 t 2 + 3 2 t + 7 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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