Enunciado

Determine a solução

h ) (d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) + 2 y = t^2

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

y (t) = y_h + y_p

Sendo y_h uma solução homogênea e y_p a parte da solução particular.

Para achar o y_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

(d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) + 2 y = 0

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> (d y)/(d t) = lambda e^(lambda t) -> (d^2 y)/(d t^2) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

(d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) + 2 y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 3 lambda e^(lambda t) + 2 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 3 lambda + 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 3 lambda + 2) = 0 -> lambda^2 - 3 lambda + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = - 3 e c = 2 , assim:

lambda^' e lambda " = (3 +- sqrt((- 3)^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = (3)/(2) +- (sqrt(1))/(2) -> {[[(3)/(2) + (1)/(2) = 2],[(3)/(2) - (1)/(2) = 1]])

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x como sendo:

x_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 2 e lambda_2 = 1

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x_h (t) = [A e^(2 t) + B e^(1 t)]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que para o nosso caso f (t) = t^2 , ou seja, vamos considerar f (t) = P (l) , como P (l) genérico tem o mesmo grau que f (t) e no nosso caso é um polinômio de grau 2, vamos dizer que P (l) = a t^2 + b t + c

Daí substituímos na equação e teremos:

(d^2 x)/(d t^2) - 3 (d x)/(d t) + 2 x = t^2 -> (d^2 (a t^2 + b t + c))/(d t^2) - 3 (d (a t^2 + b t + c))/(d t) + 2 (a t^2 + b t + c) = t^2

2 a - 3 (2 a t + b) + 2 a t^2 + 2 b t + 2 c = t^2 -> 2 a - 6 a t - 3 b + 2 a t^2 + 2 b t + 2 c = t^2

{[[2 a + 2 c - 3 b = 0],[- 6 a t + 2 b t = 0],[2 a t^2 = t^2]])

Resolvendo para 2 a t^2 = t^2 -> a = (1)/(2)

Resolvendo para - 6 a t + 2 b t = 0 -> 2 b = 6 a -> b = (3)/(2)

Resolvendo para 2 a + 2 c - 3 b = 0 -> 2 c = 3 b - 2 a -> 2 c = (9)/(2) - 1 -> 2 c = (7)/(2) -> c = (7)/(4)

Assim:

x_p = (1)/(2) t^2 + (3)/(2) t + (7)/(4)

Passo 4

Substituindo:

x (t) = [A e^(2 t) + B e^(1 t)] + (1)/(2) t^2 + (3)/(2) t + (7)/(4)

Resposta

x (t) = [A e^(2 t) + B e^(1 t)] + (1)/(2) t^2 + (3)/(2) t + (7)/(4)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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