Enunciado

Esboce a solução particular e várias outras soluções. Que características estas soluções têm em comum?

y ' ' + 4 y = e - x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 + 4 = 0

Fatorando, temos que:

r + 2 r - 2 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 2

r 2 = - 2

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = e - x

Temos que:

y p = A e - x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - A e - x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = A e - x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' + 4 y p = e - x

A e - x + 4 A e - x   = e - x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

5 A = 1

A = 1 5

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 5 e - x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x + 1 5 e - x

Passo 5

O gráfico com a solução particular e as demais soluções vai se comportar da seguinte maneira:

Observe que todas as soluções com excessão de y p oscilam ao redor de y p e todas as soluções se aproximam de quando x → - ∞ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine uma solução particular de x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.
Determine a solução geral. x ¨ - 2 x ˙ = sen ⁡ 3 t
Determine a solução geral. x ¨ + 9 x = sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t
Determine a solução geral. x ¨ - 2 x ˙ = 5
Determine a solução do problema x ¨ + 4 x = cos ⁡ 2 t ,x 0 = 0ex ˙ 0 = 0