Determine a solução geral.

x'' - 2x' = e^t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ - 2 x ˙ = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t - 2 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 - 2 r = 0

r 2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r 1 = 0

r 2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A   + B e 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é e t .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara

y p t = a e t

Calculando as derivadas

x p ' t = a e t

x p ' ' t = a e t

Substituindo então na equação

x ¨ - 2 x ˙ = e t

a e t - 2 a e t = e t

- a e t = e t

Temos então

a = - 1

E a solução particular é dada por

x p t = - e t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A   + B e 2 t - e t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A   + B e 2 t - e t

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