1. Determine a solução do problema.

c) (d^2y) / (dt^2) - 2(dy/dt) + y = 0, y(0) = 1 e y'(0) = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e   λ 1 ≠   λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   d a   e q u a ç ã o   h o m o g ê n e a   λ 2 + b λ + c = 0   s e r á  
  2.   x = A e λ 1 t + B e λ 2 t

  3. s e   λ 1 = λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   s e r á

x = A e λ 1 t + B t e λ 1 t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0 y 0 = 1   e   y ' 0 = 0

d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0

Transformando no formato λ 2 + b λ + c = 0 ,

λ 2 - 2 λ + 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo...

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

λ - 1 λ - 1

As raízes dessa equação homogênea são,

λ 1 = 1 ,     λ 2 = 1

Pelo teorema, λ 1 = λ 2

Então a solução geral da equação,

y = A e 1 ⋅ t + B t e 1 ⋅ t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

y ' = A e t + B t e t + B e t

Então,

  A e 0 + B ⋅ 0 ⋅ e 2 ⋅ 0 = 1 A e 0 + B ⋅ 0 ⋅ e 0 + B ⋅ e 0 = 0

Ou

A = 1 A + B = 0

E, portanto, A = 1   e   B = - 1 .   A   s o l u ç ã o   d o   p r o b l e m a   é ,

x = e t - t e t

Resposta

y = e t 1 - t

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