Enunciado

Determine todas as funções possíveis com a derivada

  1. y ' = sec 2 ⁡ θ .
  2. y ' = θ
  3. y ' = θ - sec 2 ⁡ θ

Passo 1

Desejamos encontrar o conjunto de todas as funções cuja derivada seja sec 2 ⁡ θ   ,   θ   o u   θ - sec 2 ⁡ θ   (a depender da alternativa). Dessa forma, alguns conceitos devem estar claros na nossa mente:

  • O primeiro deles é a regra da cadeia que diz que dada uma função composta f ( g ( θ ) ) se quisermos deriva-la vamos precisar fazer → g ' θ * f ' g θ ;
  • Utilizaremos o corolário que vem como consequência do teorema do valor médio que diz que se encontrarmos uma função f θ tal que g ' θ = f ' ( θ ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que g θ = f θ + C ;
  • Por fim, utilizaremos o fato da derivada da soma/subtração ser a soma/subtração das derivadas

Passo 2

(Letra A)

Tomemos uma função g ( θ )   =   t g ( θ ) podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada y ' = f ' ( θ ) , essa foi mais tranquila de achar pois a derivada de t g θ → sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:

f θ = g θ + C

f θ =   t g ( θ ) + C

Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( θ ) obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é sec 2 ⁡ θ .

Passo 4

(Letra B)

Tomemos uma função g θ = 2 3 * θ 3 2 podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada y ' = f ' ( θ ) , porém , essa função não foi escolhida aleatoriamente, para ficar mais claro reescrevamos y ' = θ 1 2 e lembremos da derivação de polinômios (para usá-la no sentido inverso) que diz f θ = θ n → f ' θ = n * θ n - 1 , assim g ' θ = θ 1 2 o que justifica nossa escolha.

Passo 5

Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:

f θ = g θ + C

f θ = 2 3 * θ 3 2   + C

Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( θ ) obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é θ .

Passo 6

(Letra C)

Como a derivada da letra C é a subtração das derivadas da letra b e da letra a, pela propriedade que diz que a derivada da subtração é a subtração das derivadas basta concatenarmos os resultados obtidos nas alternativas anteriores.

Resposta

  1. f θ =   t g ( θ ) + C
  2. f θ = 2 3 * θ 3 2   + C
  3. f θ = 2 3 * θ 3 2 - tan ⁡ θ + C
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Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 3 x 2 + 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 5 +1 x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =1 2 x .