Enunciado

Determine todos os pontos x , y no gráfico de y = x / ( x - 2 ) com tangentes perpendiculares à reta y = 2 x + 3 .

Passo 1

Uma reta é perpendicular a outra quando

m 1 = - 1 m 2

Como o exercício pede as tangentes de y 1 = x / ( x - 2 ) perpendiculares a y = 2 x + 3 , precisamos encontrar a derivada da curva y 2 = x / ( x - 2 ) :

m 1 = x x - 2 '

m 1 = x ' x - 2 - x x - 2 ' x - 2 2

m 1 = x 1 - 1 x - 2 - x x 1 - 1 + 0 x - 2 2

m 1 = 1 x - 2 - x 1 x - 2 2

m 1 = x - 2 - x x - 2 2

m 1 = - 2 x - 2 2

Passo 2

Portanto, como o coeficiente angular de y = 2 x + 3 é m 2 = 2

- 2 x - 2 2 = - 1 2

2 ∙ 2 = x - 2 2

4 = x 2 - 4 x + 4

x 2 - 4 x = 0

x x - 4 = 0

x 1 = 0

x 2 = 4

Passo 3

Assim, uma das tangentes que é perpendicular a y = 2 x + 3 passa por x = 0 e a outra passa por x = 4 . Agora precisamos encontrar os valores da coordenadas.

f 0 = 0 0 - 2 = 0

f 4 = 4 4 - 2 = 2

Pronto!!!

Resposta

0 , 0 ; 4 , 2

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