Enunciado

  1. Tangentes horizontais Determine equações para as tangentes horizontais à curva y = x 3 - 3 x - 2 . Também determine equações para as retas que são perpendiculares a essas tangentes nos pontos de tangência.
  2. Menor coeficiente angular Qual é o menor coeficiente angular da curva? Em qual ponto ela apresenta tal coeficiente angular? Determine uma equação para a reta que é perpendicular à tangente da curva nesse ponto.

Passo 1

Para resolvermos a letra a.) precisamos lembrar que uma tangente horizontal tem coeficiente angular igual a 0 . Por isso

0 = x 3 - 3 x - 2 '

0 = 3 x 3 - 1 - 3 x 1 - 1 + 0

0 = 3 x 2 - 3

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Portanto em x = 1 e x = - 1 temos tangentes horizontais à curva y x . Já que já temos o coeficiente angular e os x , vamos encontrar agora os y .

y = x 3 - 3 x - 2

y 1 = 1 3 - 3 ∙ 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = - 4

y - 1 = - 1 3 - 3 ∙ - 1 - 2 = - 1 + 3 - 2 = 0

Então nos pontos 1 , - 4 e - 1,0 temos tangentes horizontais à curva y x . Para encontrar a equação precisamos lembrar da equação geral de uma tangente

y - f a = f ' a x - a

y 1 - - 4 = 0 ( x - 1 )

y 1 = - 4

y 2 - 0 = 0 ( x - - 1 )

y 2 = 0

Em seguida, o exercício pede para encontrarmos equações de retas que sejam perpendiculares a essas tangentes horizontais, ou seja, a questão pede para encontrarmos as tangentes verticais à curva f x . Como ele quer retas perpendiculares nos pontos de tangência, ele quer que essas tangentes passem pelos pontos 1 , - 4 e - 1,0 , portanto

x 1 = 1

x 2 = - 1

Prontinho!

Passo 2

Na letra b.) é pedido o menor coeficiente angular dessa curva, para isso precisamos achar o ponto de mínimo de y ' x . Como y ' x = 3 x 2 - 3 é uma função de segundo grau, podemos encontrar o valor de y ' x mínimo

y ' x m i n = - ∆ 4 a = - b 2 - 4 a c 4 a = - 0 2 - 4 ∙ 3 ∙ - 3 4 ∙ 3 = - 12 ∙ 3 4 ∙ 3 = - 3

Para achar em qual ponto de x temos o menor valor do coeficiente angular basta substituir o valor encontrado em y ' x

- 3 = 3 x 2 - 3

3 x 2 = 0

x = 0

Para encontrar o valor de y

y = 0 3 - 3 ∙ 0 - 2 = - 2

Para determinar uma reta perpendicular à essa tangente da curva precisamos lembrar que

m 2 = - 1 m 1

m 2 = - 1 - 3 = 1 3

Para encontrar a reta, agora a gente coloca o coeficiente angular e o ponto na equação da reta

y = a x + b

y = x 3 + b

- 2 = 0 3 + b

b = - 2

Logo,

y = x 3 - 2

Resposta

  1. y 1 = - 4 ,   y 2 = 0 ,   x 1 = 1 ,   x 2 = - 1
  2. m = - 3 em 0 , - 2 ; y = x 3 - 2
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Calcule a derivada. y = 2 4 + 3 x 3 2 - x 3 3 2 5
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