Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

f x ,   y = x 3 - 12 x y + 8 y 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente encontrar seus máximos, mínimos locais e pontos de sela.

Para isso, vamos começar calculando as derivadas parciais da expressão (primeiras e segundas), depois igualando f x   e     f y a 0 . Dessa forma, encontramos os pontos críticos. Em seguida, através da fórmula:

D x , y = f x x . f y y - f x y x , y ²

e do teste da segunda derivada conseguimos descobrir se o ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³ , temos em relação a x :

f x = 3 x 2 - 12 y

Igualando a zero:

3 x 2 - 12 y = 0

x ² = 4 y

Derivando agora em relação a y :

f y = - 12 x + 24 y 2

Igualando a zero:

- 12 x + 24 y 2 = 0

x = 2 y ²

x ² = 4 y 4

Substituindo x 2 = 4 y na segunda expressão, temos:

x 2 = 4 y 4 = 4 y

y 3 = 1 → y = 1

Com isso, x ² = 4 → x = ± 2 e - 12 x + 24 y 2 = 0 →   - 12 x = - 24 → x = 2

Assim, os pontos críticos seriam 0,0 , 2,1 .

As segundas derivadas parciais são: f x x = 6 x , f x y = - 12 e f y y = 48 y

Passo 3

Usando o teste da segunda derivada com os 2 pontos críticos, temos:

  • 0,0 → D 0,0 = 0 - - 12 2 = - 144 < 0 → ponto de sela
  • 2,1 → D 2,1 = 12 * 48 - - 12 2 = 432 > 0   e   f x x = 12 > 0 → mínimo local
  • Resposta

    Os pontos críticos são 0,0 , 2,1 .

    As segundas derivadas parciais são: f x x = 6 x , f x y = - 12 e f y y = 48 y

  • 0,0 → D 0,0 = 0 - - 12 2 = - 144 < 0 → ponto de sela
  • 2,1 → D 2,1 = 12.48 - - 12 2 = 12.36 > 0   e   f x x = 12 > 0 → mínimo local

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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