Lista de Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função

f x , y = x y + 2 x - ln ⁡ x 2 y .

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Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

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A função f x , y = y sen ⁡ x possui

  1. Infinitos pontos de sela
  2. Infinitos pontos de máximo local
  3. Infinitos pontos de mínimo local
  4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
  5. Nenhuma das outras alternativas

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Um fio de arame com L   c m   de comprimento será cortado em 3 pedaços. Um deles será encurvado na forma de uma circunferêcia, outro na forma de um quadrado, e o terceiro na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio para que a área combinada das três figuras seja a maior possível?

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Seja f x , y = x e b y 2 + b y + a x em que a e b são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de f e classifique-os em função de a e b .

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Dada a função

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R 2

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A função f x , y = y sen ⁡ x possui

  1. Infinitos pontos de sela
  2. Infinitos pontos de máximo local
  3. Infinitos pontos de mínimo local
  4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
  5. Nenhuma das outras alternativas

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Considere a função

f x , y = 4 x y - x 4 - y 4

O ponto 1,1

  1. É de máximo local
  2. É de mínimo global
  3. É de mínimo local
  4. É de sela
  5. Não é um ponto critico

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Considere a função

f x , y = x + 8 y - x 4 4 - y 4 4 ,

o ponto ( 1,2 )

(a) é de mínimo local

(b) é de máximo local

(c) é de mínimo global

(d) é de sela

(e) não é ponto crítico

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Em relação aos pontos críticos P 1 = ( 2 , - 6 ) e P 2 = ( - 2,6 ) da função f x , y = x 2 y + 2 x 3 - 4 y , pode se dizer que:

(a) P 1 e P 2 são pontos de sela

(b) P 1 é ponto de máximo local e P 2 é ponto de mínimo local

(c) P 1 é ponto de sela e P 2 é ponto de mínimo local

(d) P 1 é ponto de sela e P 2 é ponto de máximo local

(e) nenhum dos outros itens

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Seja f x , y = x e b y 2 + b y + a x em que a e b são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de f e classifique-os em função de a e b .

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Seja f x , y = 3 y e x - e 3 x - y 3 .

a) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

b) Existe x 0 , y 0 ∈ R 2 que seja ponto de máximo ou de mínimo de f em R 2 ? Justifique!

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Determine e classifique os pontos críticos da função f   : R 2 → R dada por

f x , y = x 3 - 2 x y - y 3 + 6

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Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função

f x , y = x y + 2 x - ln ⁡ x 2 y .

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Determine e classifique os pontos críticos da função:

f x , y = x 3 + 2 x y + y 2 - 5 x

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Seja

D =   x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y - 1 2 < 1   }  

Seja f   : D → R uma função definida em D , onde

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 10

Com x , y ∈ D

  1. Classifique os pontos críticos de f quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
  2. Determine um aberto não vazio A do plano (caso exista), tal que f restrita à A seja estritamente convexa (note que A ⊂ D ). Depois desenhe A .

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Uma empresa produz x camisas e y calças por mês. Cada camisa é vendida por 120 - 2 x e cada calça por 200 - y . O custo total da empresta para produzir e vender x camisas e y calças é

x 2 + 2 y 2 + 2 x y

Admitindo que tudo que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível.

(Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo de produção e venda).

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Considere as afirmativas sobre a função

z = f x , y = x 5 y + x y 5 + x y

  1. f possui três pontos críticos distintos
  2. f possui exatamente um ponto crítico e este é um ponto de mínimo local
  3. Há ao menos um ponto crítico de f que é ponto de sela
  1. Todas as afirmações são verdadeiras
  2. As afirmações I e III são verdadeiras e a afirmação II é falsa
  3. As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira
  4. As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira
  5. As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira

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Mostre que a função g : R 2 → R definida por g x , y = sen ⁡ x + y + sen ⁡ x + sen ⁡ y admite máximo local em π 3 , π 3 e mínimo locam em 5 π 3 , 5 π 3 .

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Seja f : R 2 → R uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que f x 1,1 = f y 1,1 = 0 , f x x 1,1 = 2 e f y y 1,1 = 4 . Para qual das afirmativas abaixo, o ponto 1,1 será um ponto de sela de f ?

  1. 1 ≤ f x y 1,1 ≤ 8
  2. 0 < f x y 1,1 < 1
  3. f x y 1,1 = 0
  4. f x y 1,1 > 8
  5. Não sei

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Seja

f x , y = a x 2 + x y + a y 2

Onde a ∈ R . Então ( 0,0 ) é um ponto de máximo local se:

  1. - 1 2 < a < 0
  2. 0 < a < 1 2
  3. a > 1 2
  4. a < - 1 2

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Encontre todos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 1

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  1. Determine se a função f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y + 4 admite pontos de máximo/ mínimos, e caso sim, identifique-os .

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Seja f x , y = a x 2 + 2 x y + y 2 , onde a ∈ R . Então 0,0 é ponto de máximo local de f se?

a f não possui máximos locais;

b a = 2 ;

c a = - 1 ;

d a = 1 ;

e a = 0 .

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Seja

f x , y = 2 x 3 + x y 2 + 6 x 2 + y 2

Encontre e classifique (como pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela) todos ao pontos críticos de f .

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A temperatura de uma placa quadrada de lado 8 centrada na origem (e bordos paralelos aos eixos) é descrita pela função:

f x , y = 50 - 3 x y + x 3 - y 3  

  1. Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
  2. Quais as temperaturas máxima e mínima da placa e onde elas ocorrem?
  3. Escolha um dos pontos críticos e dê a aproximação de f no entorno deste ponto, escrevendo seu polinômio de Taylor de segunda ordem (grau 2)
  4. A partir do ponto ( 1,2 ) em que direções a temperatura aumenta?

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Seja f : R 2 → R dada por

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2

  1. Determine os pontos críticos de f
  2. Classifique os pontos obtidos no item anterior.

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Seja f   : R 2 → R uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que f x 1,1 = f y 1,1 = 0 . Suponha que ( 1,1 ) seja um ponto de sela de f , que f x x 1,1 = 2 e f y y 1,1 = 4 e que f x y 1,1 > 0 ; Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. f x y 1,1 > 8
  2. f x y 1,1 < 8
  3. f x y 1,1 = f y x 1,1 = 8
  4. f x y 1,1 = f y x 1,1 = 2
  5. Nenhuma das demais alternativas.

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Considere a função f   : R 2 → R dada por

f x , y = k x 3 + x 2 + 2 y 2 - 4 x - 4 y

Onde k é um número real não nulo.

  1. Para que valores de k a função f possui exatamente dois pontos críticos?
  2. Classifique os dois pontos críticos de f obtidos no item anterior.

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Determine e classifique os pontos críticos de

f x ,   y = 2 x 3 + 6 x y 2 - 3 y 3 - 150 x .

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

f x ,   y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4

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Seja

f x , y = a x 2 + b x y + c y 3

Onde a ,   b , c são números reais. Se

b 2 - 4 a c < 0

b > 0

Então:

a ( 0,0 ) é ponto de mínimo local

b ( 0,0 ) é ponto de máximo local

c ( 0,0 ) não é ponto crítico

d ( 0,0 ) é ponto de sela

e nenhuma das demais alternativas

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Seja

f x , y = x 2 + x y + y 2 + x 3

Encontre e classifique todos os pontos críticos de f .

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Sobre a função f : R 2 → R dada por

f x , y = k 3 x 2 - y 2 2 + x y + x

x , y ∈ R 2

Considere as afirmações:

  1. Para todo k ∈ R , f tem exatamente um ponto crítico
  2. Para todo k ∈ R , f não tem pontos de mínimo local
  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se, k > - 3 2
  4. Para k = - 2 , 3 2 é um paximo local de f

São verdadeiras:

  1. Todas as afirmativas
  2. Apenas as afirmações II, III, IV
  3. Apenas as afirmações I e III
  4. Apenas as afirmações I, III, IV
  5. Apenas as afirmações III, IV

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Sobre a função f : R 2 → R dada por

f x , y = k 3 x 2 - y 2 + 2 x y + x

x , y ∈ R 2

Considere as afirmações:

  1. Para todo k ∈ R , f tem exatamente um ponto crítico
  2. Para todo k ∈ R , f não tem pontos de mínimo local
  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se, k > - 3
  4. Para k = - 4 , 3 4 é um maximo local de f

São verdadeiras:

  1. Todas as afirmativas
  2. Apenas as afirmações II, III, IV
  3. Apenas as afirmações I e III
  4. Apenas as afirmações I, III, IV
  5. Apenas as afirmações III, IV

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( I ) Seja

A =   x , y ∈ R 2   x > 0   }  

Seja

f x , y = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + 3 x + y

Com x , y ∈ A

  1. Encontre todos os pontos críticos de f em A .
  2. • Encontre um aberto n   B ⊂ A , tal que f restrita à A seja estritamente côncava.

    • Exiba um ponto x 0 , y 0 ∈ B

    • Esboce B .

  3. Exiba os pontos críticos de f em A que são pontos de máximo local, justificando sua resposta.

( I I ) Seja

F x , y , z = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + z 4 12 - z 2 2

  1. Encontre funções h 1 ( x , y , z ) , h 2 ( x , y , z ) e h 3 ( x , y , z ) tais que a função F ( x , y , z ) restrita ao aberto

C = x , y , z ∈ R 3 h 1 x , y , z > 0 ,   h 2 x , y , z > 0 ,   h 3 x , y , z > 0 }  

Seja estritamente côncava. Exiba um ponto x 1 , x 2 , x 3 ∈ C .

(Dica: use os calculos do item I )

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Questão 2: Considere a função f x ,   y = x 4 + y 4 - 4 x y + 1 .

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f .

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Seja

f x , y = x 2 - 2 b x y + y 2

Para que f possua um ponto de sela, b deve satisfazer:

a b ≥ 1

b b > 1

c b 2 > 1

d b < - 1

e N e n h u m

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Seja

D = x , y ∈ R 2   x > 0 }  

E seja f   : D → R definida por

f x , y = x 3 6 + y x 2 2 - y 3 6 + x y 2 2 + y 2 2 - 6 x     ,     x , y ∈ D

  1. Seja det ⁡ H f x , y o determinante da matriz hessiana de f em x , y ∈ D . Obtenha as funções L 1 ( x , y ) e L 2 ( x , y ) tal que
  2. det ⁡ H f x , y = L 1 x , y ∙ L 2 x , y ,   x , y ∈ D

  3. Classifique os pontos críticos de f em D
  4. Encontre funções g 1 x , y e g 2 x , y tal que f restrita ao conjunto aberto

A = x , y ∈ D   g 1 x , y > 0   e   g 2 x , y > 0 }  

Seja estritamente convexa. Desenhe A tracejando e explicite x 0 , y 0 ∈ A

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Dada a função

f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2

  1. Determine seus pontos críticos.
  2. Classifique seus pontos críticos.

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Determine e classifique os pontos críticos de

f x , y = y sen ⁡ x

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Seja

f x , y = x 4 - 4 x y + 2 y 2

E considere as seguintes as afirmativas:

  1. f possui exatamente três pontos críticos
  2. Apenas um ponto crítico de f é ponto de mínimo local.
  3. Apenas um ponto crítico de f é ponto de sela.

Indique a alternativa correta:

  1. Somente a afirmativa I é verdadeira
  2. As afirmativas I e II são verdadeiras e III é falsa
  3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
  4. Todas as afirmativas são verdadeiras
  5. Todas as afirmativas são falsas

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( - 1,0 ) um ponto de sela de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( 1,0 ) um ponto de mínimo local de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Seja

f x , y = e y ( y 2 - x 2 )

Resolva o que se pede:

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f .

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( 1,0 ) um ponto de sela de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de f , então é extremante global de f .
  2. Considere as α t = ( t , 0 , t 2 ) e β t = 0 , t , - t 2 ,   t ∈ R . Se as imagens de α e β estão contidas no gráfico de f   : R 2 → R e ( 0,0 ) é um ponto crítico de f , então ( 0,0 ) é um ponto de sela de f .
  3. Se A é um subconjunto não vazio e limitado de R 2 e f   : A → R é contínua, então f