Enunciado

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a .

a = ( 1,2 ) , b = ( - 4,1 )

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a , beleza? Vamos nessa então! Vamos começar lembrando que a projeção escalar de b sobre a é dada por:

c o m p a   b = a ∙ b a

E que o vetor projeção de b sobre a é dado pela equação:

p r o j a   b = a ∙ b a a a

Agora que já sabemos o que fazer… Partiu continhas!

Passo 2

Bom, a gente viu que nos dois casos vamos precisar do módulo do vetor a , né? Então vamos calcular ele primeiro, certo?

Temos que:

a   =   < 1,2 >

O módulo dele será então:

a = 1 2 + 2 2

a = 1 + 4

a = 5

Beleza! Estamos indo bem! Outra coisa que aparece nas duas continhas que precisamos fazer é o produto escalar entre os vetores, vamos achar ele então, facilita nossa vida lá na frente, né?

Sendo:

a =   < 1,2 > b =   < - 4,1 >

O nosso produto escalar vai ficar:

a   ∙   b = 1,2 ∙ - 4,1

a   ∙   b = 1 . - 4 + 2.1

a   ∙   b =   - 2

Passo 3

Agora simmmm… Vamos para o que o nosso enunciado realmente quer! Começando pela projeção escalar, vamos ter:

c o m p a   b = a ∙ b a

c o m p a   b =   - 2 5

E para achando o vetor projeção teremos:

p r o j a   b = a ∙ b a a a

p r o j a   b = - 2 5 ∙ 1,2 5

p r o j a   b = - 2 25   ,   - 4 25

p r o j a   b = - 2 5 , - 4 5

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

A projeção escalar de b sobre a é - 2 5 .

O vetor projeção é - 2 5 , - 4 5 .

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