Enunciado

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.

r t = 2   s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j + t g   t   k ,                           t = π / 4

Passo 1

O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por

T t = r ' t r ' t

Por isso, devemos determinar o módulo e valor do vetor tangente no ponto t = 0 .

Assim, primeiramente, vamos determinar o vetor tangente derivando o vetor original da seguinte forma

r ' t = d d t 2   s en ⁡ t ,   d d t 2 cos ⁡ t ,   d d t t g   t

r ' t = ( 2 cos ⁡ t ,   - 2   s e n   t , sec 2 ⁡ t )

Para t = π / 4 , temos

r ' π / 4   = 2 cos ⁡ π 4 ,   - 2   s e n π 4 , sec 2 ⁡ π 4    

r ' t = ( 2 ,   - 2   ,   2 )

Passo 2

Agora que já determinamos o valor do vetor tangente no ponto dado, podemos calcular seu módulo nesse mesmo ponto.

r ' t = 2 2 + - 2 2 + 2 2    

r ' π / 4 = 8

r ' π / 4 = 2 2

Passo 3

Por fim, só falta substituir os valores calculados na fórmula do vetor tangente unitário T(t):

T π / 4 = 1 r ' 0 ⋅ r ' ( 0 )

T π / 4 = 1 2 2 ⋅ ( 2 ,   - 2   ,   2 )

T π / 4 = ( 1 2 ,   - 1 2 , 2 2 )

Resposta

T π / 4 = 1 2   i - 1 2   j + 2 2   k

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