Enunciado

Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.

O sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y = 1 - x 2 e y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .

Passo 1

Os planos z = 2 - x - y e z = 2 x + 2 y + 10 serão as “tampas” do sólido. Já o domínio de integração será a região entre as curvas y = x 2 - 1 e y = 1 - x 2 :

Os planos se intersectam na reta

2 - x - y = 2 x + 2 y + 10 ⇒ 3 x + 3 y + 8 = 0

Essa reta não passa pela região dada pelo domínio de integração. Assim, na região de interesse, uma tampa sempre está acima da outra e basta vermos qual a tampa superior e qual a inferior. Usando a origem como ponto de referência, vemos que 2 - x - y < 2 x + 2 y + 10 . Assim, z = 2 x + 2 y + 10 será a tampa superior.

Desta forma, o volume será

V = ∬ D 2 x + 2 y + 10 - 2 - x - y   d y   d x = ∬ D 3 x + 3 y + 8   d y   d x

Assim,

V = ∫ - 1 1 ∫ x 2 - 1 1 - x 2 3 x + 3 y + 8   d y   d x

Passo 2

Efetuando a integral em y :

V = ∫ - 1 1 3 x y + 3 y 2 2 + 8 y x 2 - 1 1 - x 2 d x

Assim,

V = ∫ - 1 1 3 x   1 - x 2 - x 2 - 1 + 3 2 1 - x 2 2 - x 2 - 1 2 + 8   1 - x 2 - x 2 - 1 d x

Portanto,

V = ∫ - 1 1 ( 6 x - 6 x 3 + 16 - 16 x 2 )   d x

Passo 3

Desta forma,

V = 3 x 2 - 3 2 x 4 + 16 x - 16 3 x 3 - 1 1

Fazendo as contas:

V = 64 3

Resposta

64 3

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano 3 x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 .
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Determine o volume do sólido dado.O tetraedro delimitado pelas coordenadas dos planos e pelo plano 2 x + y + z = 4
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x dos pontos de intersecção da curva y = x 4 e y = 3 x - x 2 . Se D é a região limitada por essas curvas, estime ∬ D x d A .