Enunciado

Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.

Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

O domínio de integração é a região dentro do círculo de raio 1 centrado na origem, isto é, x 2 + y 2 ≤ 1 . Em coordenadas cartesianas, essa região é descrita como

D = x , y ∈ R 2   - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1 }

Assim a integral que dá o volume será

V = ∬ D 8 - x 2 - 2 y 2 - 2 x 2 + y 2   d A

Portanto,

V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 8 - 3 x 2 - 3 y 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a integral exata usando uma calculadora gráfica:

V = 13 π 2

Resposta

13 π 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 0 y f ( x , y ) d x d y
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 2 y 4 + x y 2 e acima da região lmitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y , z = 2 + y .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido sob o plano z = 3 , acima do plano z = y e entre os cilindros carabólicos y = x 2 e y = 1 - x 2 .