Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = y 3 2

x = 0

y = 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = y 3 2

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por y = 2 .

Como temos que fazer uma integral definida para o volume, precisamos ver qual o outro ponto que essa curva corta o eixo y , que é x = 0 . Porque é o que limita a região:

y 3 2 = 0

y = 0

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = 0 , que achamos ali emcima, até y = 2 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = y 3 2

O volume vai ser:

V = ∫ 0 2 π y 3 2 2 d y

V = ∫ 0 2 π y 3 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 2 π y 3 d y

V = π ∫ 0 2 y 3 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 3 d y = y 4 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 2 y 3 d y = π y 4 4 0 2 =

π 2 4 4 - π 0 4 4 =

π 16 4 = 4 π

Resposta

4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sin ⁡ x e pelas retas x = 0 , x = π e y = 2 em torno da reta y = 2 .
15. Volume de um orifício de uma esfera sólida Um orifício redondo de raio 3 pés é furado através do centro de uma esfera sólida de raio 2 pés. Determine o volume de material removido da esfera.
13. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva x = e y 2 e pelas retas y = 0 , x = 0 e y = 1 em torno do eixo x .
A região entre a curva y = 1 / x 2 e o eixo x de x = 1 / 2 a x = 2 é girada em torno do eixo y , gerando um sólido. Determine o volume do sólido.
No Exercício 6 da Seção 6.2, giramos em torno do eixo y a região entre a curva y = 9 x / x 3 + 9 e o eixo x de x = 0 a x = 3 para gerar um sólido de volume 36 π . Em vez disso, se girarmos a região em