Enunciado

2 – 20. Diferencie a função.18. G (u) = ln sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))

Passo 1

Nós temos uma função dentro da outra nesse exemplo, então devemos usar a regra da cadeia, ela diz que a derivada de uma função composta vai ser a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro:

G^' (u) = [ln sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))]^' * (d)/(d u) (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))

A derivada de um logaritimo natural é igual a:

(d)/(d y) (ln y) = (1)/(y)

Mas no nosso caso o y seria o (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))) , então:

[ln sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))]^' = (1)/(sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))

Simplificando a expressão:

[ln sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))]^' = sqrt((3 u - 2)/(3 u + 2))

Passo 2

Agora precisamos calcular a outra derivada:

(d)/(d u) (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))

Essa também é uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia, mais uma vez. Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é (3 u + 2)/(3 u - 2) . Então a derivada fica:

(d)/(d u) (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))) = (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))^' * (d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2))

A derivada de uma raiz quadrada é:

(d)/(d y) (sqrt(y)) = (1)/(2 sqrt(y))

Então

(sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))^' = (1)/(2 sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))

Simplificando a expressão: (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))^' = (1)/(2) sqrt((3 u - 2)/(3 u + 2))

Só falta a gente calcular essa derivada

(d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2))

E para isso só precisamos usar a regra da razão:

(d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2)) = ((d)/(d u) (3 u + 2) * (3 u - 2) - (d)/(d u) (3 u - 2) * (3 u + 2))/((3 u - 2)^2)

As derivadas que apareceram no numerador, são derivadas de polinômios simples:

(d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2)) = ((3) * (3 u - 2) - (3) * (3 u + 2))/((3 u - 2)^2)

(d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2)) = ((9 u - 6) - (9 u + 6))/((3 u - 2)^2)

(d)/(d u) ((3 u + 2)/(3 u - 2)) = (- 12)/((3 u - 2)^2)

Então a derivada daquela raiz fica:

(d)/(d u) (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))) = ((1)/(2) sqrt((3 u - 2)/(3 u + 2))) * ((- 12)/((3 u - 2)^2))

Passo 3

Agora é só substituir as expressões encontradas na derivada da função do enunciado:

G^' (u) = [ln sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2))]^' * (d)/(d u) (sqrt((3 u + 2)/(3 u - 2)))

G^' (u) = (sqrt((3 u - 2)/(3 u + 2))) * ((1)/(2) sqrt((3 u - 2)/(3 u + 2))) * ((- 12)/((3 u - 2)^2))

Simplificando essa expressão:

G^' (u) = (3 u - 2)/(3 u + 2) * ((- 6)/((3 u - 2)^2))

G^' (u) = (- 6)/((3 u + 2) * (3 u - 2))

G^' (u) = (- 6)/(9 u^2 - 4)

Resposta

G^' (u) = (- 6)/(9 u^2 - 4)

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