Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Aproxime 2 aplicando o Método de Newton à equação x 2 - 2 = 0 .

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 2 - 2 ' = 2 x 2 - 1 - 0 = 2 x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 - 2 2 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - 2 2 x 1 = 2 - 2 2 - 2 2 ⋅ 2 = 1,5

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - 2 2 x 2 = 1,5 - 1,5 2 - 2 2 ⋅ 1,5 ≈ 1,4166666667

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - 2 2 x 3 = 1,4166666667 - 1,4166666667 2 - 2 2 ⋅ 1,4166666667 ≈ 1,41 4215683

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 - 2 2 x 4 = 1,414215683 - 1,414215683 2 - 2 2 ⋅ 1,414215683 ≈ 1,41421 35624

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 2 - 2 2 x 5 = 1,4142135624 - 1,4142135624 2 - 2 2 ⋅ 1,4142135624 ≈ 1,414213 5624

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,4142135624 .

Resposta

A raiz é 1,4142135624 .

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