Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

A equação dada tem uma solução real. Aproxime-a pela Método de Newton.

x 3 + x - 1 = 0

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 3 + x - 1 ' = 3 x 3 - 1 + 1 - 0 = 3 x 2 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 + x n - 1 3 x n 2 + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 + x 1 - 1 3 x 1 2 + 1 = 1 - 1 3 + 1 - 1 3 ⋅ 1 2 + 1 = 0,75

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 3 + x 2 - 1 3 x 2 2 + 1 = 0,75 - 0,75 3 + 0,75 - 1 3 ⋅ 0,75 2 + 1 ≈ 0,6860465116

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 3 + x 3 - 1 3 x 3 2 + 1 =

= 0 , 6860465116 - 0 , 6860465116 3 + 0 , 6860465116 - 1 3 ⋅ 0 , 6860465116 2 + 1 ≈ 0 , 68 23395826

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 3 + x 4 - 1 3 x 4 2 + 1 =

= 0 , 6823395826 - 0 , 6823395826 3 + 0 , 6823395826 - 1 3 ⋅ 0 , 6823395826 2 + 1 ≈ 0 , 6823 278039

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 3 + x 5 - 1 3 x 5 2 + 1 =

= 0 , 6823278039 - 0 , 6823278039 3 + 0 , 6823278039 - 1 3 ⋅ 0 , 6823278039 2 + 1 ≈ 0 , 682327803 8

Vamos achar x 7 :

x 6 + 1 = x 7 = x 6 - x 6 3 + x 6 - 1 3 x 6 2 + 1 =

= 0 , 6823278038 - 0 , 682327803 8 3 + 0 , 682327803 8 - 1 3 ⋅ 0 , 682327803 8 2 + 1 ≈ 0 , 6823278038

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,6823278038 .

Resposta

A raiz é 0,6823278038 .

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