Enunciado

Se dois vértices de um triângulo equilátero são (-4,3) e (0,0), ache o terceiro vértice.

Passo 1

Sejam A(-4,3) e B(0,0). Como estes pontos são vértices de um triângulo equilátero, devemos encontrar um ponto C(x,y) de forma que o segmento AB tenha o mesmo tamanho do seguimento AC e do segmento BC. Assim

A B = 0 - - 4 2 + 0 - 3 2 ⇒

A B = 4 2 + - 3 2 ⇒

A B = 16 + 9 ⇒

A B = 25 ⇒

A B = 5

Passo 2

Vamos calcular o comprimento dos segmentos AC e BC, lembrando que estes devem valer 5, por são lados do triângulo equilátero ABC.

A C = x - - 4 2 + y - 3 2 ⇒

A C = x + 4 2 + y - 3 2  

Como AC = 5, temos

5 = x + 4 2 + y - 3 2 ⇒

5 2 = x + 4 2 + y - 3 2 2 ⇒

25 = x + 4 2 + y - 3 2   ⇒

25 = x 2 + 8 x + 16 + y 2 - 6 y + 9 ⇒

25 = x 2 + 8 x + 25 + y 2 - 6 y ⇒

25 - 25 = x 2 + 8 x + y 2 - 6 y ⇒

x 2 + 8 x + y 2 - 6 y = 0 ⇒

x 2 + y 2 + 8 x - 6 y = 0 (1)

Temos também

B C = x - 0 2 + y - 0 2 ⇒

B C = x 2 + y 2

Como B C = 5 , temos

5 = x 2 + y 2 ⇒

5 2 = x 2 + y 2 2 ⇒

25 = x 2 + y 2 (2)

Passo 3

Substituindo (2) em (1)

x 2 + y 2 + 8 x - 6 y = 0 ⇒

25 + 8 x - 6 y = 0 ⇒

25 + 8 x = 6 y ⇒

6 y = 25 + 8 x ⇒

y = 25 + 8 x 6

Substituindo este valor de y em (2), temos

x 2 + y 2 = 25 ⇒

x 2 + 25 + 8 x 6 2 = 25 ⇒

x 2 + 625 + 400 x + 64 x 2 36 = 25 ⇒

36 x 2 + 625 + 400 x + 64 x 2 = 900 ⇒

100 x 2 + 400 x + 625 - 900 = 0 ⇒

100 x 2 + 400 x - 275 = 0

4 x 2 + 16 x - 11 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos

x = - 16 ± 16 2 - 4 4 - 11 2 4 ⇒

x = - 16 ± 16 2 - 4 4 - 11 2 4 ⇒

x = - 16 ± 256 + 176 8 ⇒

x = - 16 ± 432 8 ⇒

x = - 16 ± 12 3 8 ⇒

x = - 4 ± 3 3 2

Com essas duas soluções de x, podemos encontrar duas soluções para y. Assim

→ S e   x = - 4 + 3 3 2  

y = 25 + 8 x 6 ⇒

y = 25 + 8 - 4 + 3 3 2   6 ⇒

y = 25 + 4 - 4 + 3 3   6 ⇒

y = 25 - 16 + 12 3   6 ⇒

y = 9 + 12 3   6 ⇒

y = 3 + 4 3   2

→ S e   x = - 4 - 3 3 2

y = 25 + 8 x 6 ⇒

y = 25 + 8 - 4 - 3 3 2   6 ⇒

y = 25 + 4 - 4 - 3 3   6 ⇒

y = 25 - 16 - 12 3   6 ⇒

y = 9 - 12 3   6 ⇒

y = 3 - 4 3   2

Resposta

Logo, o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC é - 4 + 3 3 2 , 3 + 4 3   2 ou - 4 - 3 3 2 , 3 - 4 3   2 .

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A reta r é representada parametricamente por x = a t + b ,y = c t + d . Determine o ponto P = ( x , y ) em que r intersecta a seta s, cuja equação é α x + β y = c .
Escreva uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos 7 , - 2e( 3,4 )
Escreva, sob a forma a x + b y = c , a equação da reta que passa pelo ponto P = x 0 , y 0 e é perpendicular ao segmento O Q , com Q = ( m , n ) .
Ache uma representação paramétrica para a reta 5 x - 2 y = 1 .
São dados os pontos A = 5,7 ,B = 6,9eC = ( 6,0 ) . a) Escreva a equação da reta BC. b) Escreva a equação da reta r, que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta BC. c) Ache as coordenadas do ponto