Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico.

o ) h (x) = (x^2 - 1)/(x - 1)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá?

Para esboçar o domínio precisamos pensar se essa função “falha” para algum valor de x . Mas como assim?

Bom, sabemos de duas grandes “falhas” da matemáticas:

Divisão por zero

Raiz (de índice par) negativa.

Daí para dar o domínio da função basta identificar se alguma dessas situações pode acontecer na função que temos.

Dá uma espiada lá na função. Xiiii, temos uma divisão! Aqui atenção! Uma as regras é que o denominador não pode assumir o valor zero. Então o denominador deve ser != 0 :

x - 1 != 0

Logo temos que a função h ( x ) falha quando temos x = 1 . Mas e em outros lugares? Outros lugares não temos uma indeterminação, portanto ela pode assumir todos os outros valores de x =)

Com isso o domínio dessa função são quase todos os números reais, A NÃO SER pelo valor x = 1 , que deve ser retirado!

Assim temos:

D o m_h = R - 1

Uma outra forma de escrever é:

D o m_h = { x in R ∕ x != 1 }

Passo 2

Agora vamos ver quanto ao gráfico. Podemos fatorar o numerador da seguinte forma:

x^2 - 1 = (x + 1) ( x - 1 )

Daí podemos simplificar a função h ( x ) :

h (x) = ((x + 1) ( x - 1 ))/(x - 1) = x + 1

Daí você se pergunta se não podíamos ter feito isso antes, para determinar o domínio. E eu respondo: Não! Embora essas duas representações graficamente sejam iguais, o domínio de x + 1 são todos os reais, ao passo que a função original apresenta uma descontinuidade em x = 1 . Certo?

Passo 3

Então o que temos é uma reta crescente. Vamos ver onde ela corta os eixos x e y ? Bora lá!

O eixo x :

0 = x + 1 :. x = - 1 :. ( - 1,0 )

O eixo y :

y = 0 + 1 :. y = 1 :. ( 0,1 )

Então temos dois pontos: ( - 1,0 ) e ( 0,1 ) . E vamos chutar um valor de x positivo, só pra ver como a reta vai se comportar. Digamos em x = 1 :

y = 1 + 1 = 2

Então o ponto ( 1,2 ) pertence à reta. Mas atenção!! Aqui nesse ponto, a bolinha é ABERTA! Pois x = 1 não pertence ao domínio da função!

Vamos colocar isso no gráfico?

Certo, vamos pra próxima?

Resposta

D o m_h = { x in R ∕ x != 1 }

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