Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico.

m ) h (x) = | x - 1 |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá?

Para esboçar o domínio precisamos pensar se essa função “falha” para algum valor de x . Mas como assim?

Bom, sabemos de duas grandes “falhas” da matemáticas:

Divisão por zero

Raiz (de índice par) negativa.

Daí para dar o domínio da função basta identificar se alguma dessas situações pode acontecer na função que temos.

Como a função que temos é a função módulo, que é “quebrada”, devemos identificar nas duas partes dela se há alguma indeterminação matemática.

Passo 2

Como relembrar é viver, vamos revisar as propriedades da função modular?

Sendo a função modular f (x) = | x | , ela é definida da seguinte forma:

f (x) = {[[x , s e x >= 0],[- x , s e x <= 0]])

Ela tem duas caras: uma antes de zero e outra depois. Mas quanto ao domínio, é tranquilo da gente entender. Em nenhuma das duas partes identificamos alguma inconsistência matemática, sendo assim o domínio é o mais abrangente possível, o conjunto dos reais. Assim:

D o m_f = R

Agora vamos aplicar isso para a nossa função?

Passo 3

A função que o problema dá é essa aqui:

h (x) = | x - 1 |

E pode ser definida da seguinte forma:

h (x) = {[[x - 1 , s e x >= 0],[- ( x - 1 ) , s e x <= 0]])

Pra analisar o domínio devemos ver se as duas partes da função (antes do zero e depois) apresentam alguma indeterminação. Bom, como é um polinômio de primeiro grau, então não temos algum valor de x no qual a função falha! Beleza! Assim sabemos que o domínio dela são todos os reais:

D o m_h = R

Certo! Vamos passar para o gráfico?

Passo 4

Vamos primeiro ver onde a função corta o eixo dos x :

h (x) = 0

Assim:

|x - 1| = 0 :. x = 1

Beleza! Então o ponto ( 1,0 ) pertence ao gráfico e é justamente onde as retas y = x - 1 e y = - x + 1 se encontram!

E agora onde corta o eixo y ? Onde x = 0 temos:

y = |0 - 1| :. y = 0

Então a função (reta crescente) corta o eixo y no ponto ( 1,0 ) .

Agora pra completar tudo, vamos determinar um ponto depois de x = 1 que pertence a outra parte da função na parte positiva. Digamos x = 2 (usando a parte positiva da função):

h (2) = 2 - 1 = 1

Encontramos o ponto ( 2,1 ) ! Beleza! Agora o próximo passo é colocar tudo isso num gráfico! Bora lá?

Passo 5

Então sabemos que para x <= 1 a função é uma reta decrescente, que passa pelos pontos ( 1,0 ) e ( 0,1 ) . E que para valores x >= 1 é uma reta crescente que passa pelos pontos ( 1,0 ) e ( 2,1 ) :

Resposta

D o m = R

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