Elimine o módulo.

|x+1| + |x|

Passo 1

Temos pela definição que:

x = x       s e       x ≥ 0 - x       s e       x < 0

Basicamente isso fala que para todo x , x ≥ 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Passo 2

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x ≤ - 1 , - 1 < x < 0 e x ≥ 0 .

Com x ≤ - 1 temos que x + 1 ≤ 0 e x < 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + 1 + x = - x + 1 - x = - x - 1 - x = - 2 x - 1

Passo 3

Com - 1 < x < 0 temos que x + 1 > 0 e x < 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + 1 + x = x + 1 - x = 1

Passo 4

Por último, com x ≥ 0 temos que x + 1 > 0 e x ≥ 0 , assim a expressão é equivalente a:

x + 1 + x = x + 1 + x = 2 x + 1

Juntando então temos que:

x + 1 + x = - 2 x - 1     s e     x ≤ - 1 1     s e     - 1 < x < 0 2 x + 1     s e     x ≥ 0

Resposta

x x + 1 + x = - 2 x - 1     s e     x ≤ - 1 1     s e     - 1 < x < 0 2 x + 1     s e     x ≥ 0

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