Enunciado

Uma empresa de construções acrescentou uma área retangular de mil metros quadrados à sua sede. Três lados da área estão cercados. O lado da sede que é adjacente à área mede 100 metros, e uma parte desse lado é utilizada como o quarto lado da área acrescentada. Sejam x e y as dimensões da área retangular, onde x é medido paralelamente à sede, e L o comprimento da cerca necessária para essas dimensões.

(a) Encontre uma fórmula para L em termos de x e y.

(b) Encontre uma fórmula que expresse L somente em termos de x.

(c) Qual é o domínio da função em (b)?

(d) Esboce o gráfico da função em (b) e estime as dimensões da área retangular que minimizem a quantidade de cerca necessária.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos entender o que tá acontecendo:

Em azul é a área retangular de 1000   m 2 e em preto é a sede com o lado de 100   m . (Como nada foi falado sobre o formato da sede, fiz ela retangular só pra ficar mais fácil de imaginar kk). Além disso, temos aonde teremos a cerca em pontilhado ali!

Logo pela figura, vemos que o pontilhado é formado por dois lados y e um x . Então, a cerca necessária tem um comprimento:

L = 2 y + x

Passo 2

(b) Agora, vamos precisar saber uma relação entre y e x , pois já sabemos L em função dos dois.

O enunciado nos deu que essa área retangular vale 1000   m 2 . Vamos usar isso, pois sabemos que a área de um retângulo é o produto dos seus lados:

A = x y

Como A = 1000   m 2 :

x y = 1000

y = 1000 x

Substituindo isso na equação para L do passo anterior:

L = 2 y + x

L = 2 ∙ 1000 x + x

L = 2000 x + x

Ou ainda, fazendo o mmc:

L = 2000 + x 2 x

Passo 3

(c) O domínio representa os valores de x .

Olhando para a função que temos:

L = 2000 + x 2 x

De cara, podemos dizer que x ≠ 0 , pois ficaria uma divisão por 0 e não queremos isso. Além disso, como x é uma medida de comprimento, não podemos ter um valor negativo para ele. Por último, como uma parte do lado de 100   m da sede é usado como o quarto lado do retângulo e esse quarto lado deve valer x , ele deve ser no máximo 100   m também!

Juntando essas informações, vemos que:

0 < x ≤ 100

Passo 4

(d) Esboçando L :

E vemos que o menor valor de L ocorre entre x = 40 e x = 50 . Com isso, vamos colocar x = 45   m .

Dessa forma, usando a relação entre x e y do passo 2:

y = 1000 x

y = 1000 45

y ≈ 22,22   m

Resposta

(a) L = 2 y + x

(b) L = 2000 + x 2 x

(c) 0 < x ≤ 100

(d)   x = 45   m e y ≈ 22,22   m

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