Enunciado

Um construtor de dependências esportivas quer colocar uma pista de corrida de um quarto de milha – 396 metros – em torno de um campo de futebol americano, conforme a figura a seguir. O campo de futebol tem 108 metros de comprimento (incluindo as zonas finais) por 48 metros de largura. A pista consiste em duas retas e dois semicírculos, sendo que as redes se estendem pelo menos ao longo do campo de futebol.

(a) Mostre que é possível construir a pista de um quarto de milha em torno do campo de futebol. [Sugestão: Encontre a menor pista que pode ser construída em torno do campo.]

(b) Seja L o comprimento de uma das partes retas (em metros) e x uma distância (em metros) entre a lateral do campo e a parte reta da pista. Faça um gráfico de L versus x.

(c) Use o gráfico para estimar o valor de x que produz a parte reta mais curta e então encontre exatamente esse valor.

(d) Use o gráfico para estimar o comprimento da maior parte reta possível e encontre exatamente esse comprimento.

Passo 1

(a) Vamos usar a sugestão e calcular qual a menor pista que pode ser construída em torno do campo.

Para saber qual a menor pista, vamos ter que calcular qual o menor comprimento em torno do campo. Vamos usar a própria imagem do problema:

Olhando para ela, vemos que o comprimento em torno do campo é no mínimo igual ao comprimento das duas linhas retas e dos dois semicírculos. Cada linha reta tem 108   m e o comprimento de um semicírculo é π r ( 2 π r 2 ), sendo que os dois semicírculos são iguais:

C m i n = 108 + 108 + π r + π r

C m i n = 216 + 2 π r

Olhando para a figura, vemos que os diâmetros dos semicírculos são iguais a 48   m , logo, o raio r = 48 2 = 24   m . Com isso:

C m i n = 216 + 2 π ∙ 24

C m i n = 366,8   m

Como o comprimento mínimo da pista é 366,8   m e a pista que queremos construir tem 396   m , ou seja, ela é maior que a menor pista, é possível construí-la!!

Passo 2

(b) Temos essa situação:

Bom, supondo que vamos construir a pista com 396   m de comprimento, temos que o comprimento da pista é:

C = 2 L + 2 π r

Já que são as duas retas e os dois semicírculos. Só que, agora, C = 396   m e r = 48 + 2 x 2 , pelo o que podemos ver na figura. Dessa forma:

396 = 2 L + 2 π ∙ 48 + 2 x 2

Simplificando:

396 = 2 L + π ∙ 48 + 2 x

396 = 2 L + 48 π + 2 π x

Como queremos L em função de x , vamos isolar L :

2 L = 396 - 48 π - 2 π x

L = 396 - 48 π - 2 π x 2

L ( x ) = 198 - 24 π - π x

Plotando essa função, lembrando que x nem L não possuem valores negativos por serem medidas de comprimento e que L tem que ser no mínimo 108   m (que é o comprimento do campo):

Passo 3

(c) Então, como vimos no passo anterior, L deve ser no mínimo igual ao comprimento do campo 108   m . Senão, teremos uma pista menor que o campo e não dá para isso acontecer!

Olhando para o gráfico, isso acontece mais ou menos em x = 5   m .

Dessa forma, substituindo L = 108 :

L ( x ) = 198 - 24 π - π x

108 = 198 - 24 π - π x

Isolando x :

π x = 198 - 108 - 24 π

x = 198 - 108 - 24 π π

x = 4,65   m

Esse é o valor exato! Chegamos perto 😉!

Passo 4

(d) O maior comprimento, pelo gráfico, vale mais ou menos 122   m . Isso acontece quando x = 0 . Pois é quando a reta toca o eixo y . O valor exato será esse mesmo x = 0 !

Dessa vez , não precisamos fazer a conta, pois se fosse diferente, o erro seria por aproximarmos o valor máximo de L para 122   m .

Resposta

(a) É possível!

(b) L ( x ) = 198 - 24 π - π x

(c) x = 4,65   m

(d) x = 0

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