Enunciado

Encontre:

y = l o g x e

Passo 1

Uma coisa importante para calcular exercícios desse tipo, é que quando temos logaritmos de outras base e logaritmo natural, sempre iremos transformar os termos em função do logaritmo natural.

E depois disso, resolver o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g x e

A primeiro momento, não podemos simplesmente multiplicar todos os termos pela função do logaritmo natural e achar que está tudo certo. Temos primeiramente que transformar a função em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g x e = l o g e e l o g e x

Logo:

l o g x e = l n ⁡ ( e ) l n ⁡ ( x ) = 1 l n ⁡ ( x )

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = 1 l n ⁡ ( x )

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

d y d x = d d x . 1 l n ⁡ ( x )

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

d y d x = f ' g - g ' f g 2

Onde:

f = 1

g = l n ⁡ ( x )

Resolvendo:

d y d x = f ' g - g ' f g 2 = 0 - ( 1 x ) ln ⁡ x 2

d y d x = - 1 x . ln ⁡ x 2

Resposta

d y d x = - 1 x . ln ⁡ x 2

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