Enunciado

Modifique a dedução da Equação ( 2 ) para obter outra prova da Equação ( 3 ) .

Passo 1

Temos que as equações que iremos trabalhar são:

2 = d d x l o g b x

3 = 1 x . l n ⁡ ( b )

O objetivo do exercício é fazer com que ( 2 ) se transforme ( 3 ) e podemos fazer isso utilizando limites.

d d x l o g b x = lim h → 0 ⁡ l o g b x + h - l o g b ( x ) h

Usando propriedade de logaritmo que fala sobre divisão:

= lim h → 0 ⁡ l o g b ( x + h ) x h

Reorganizando:

= lim h → 0 ⁡ l o g b ( h ) x + 1 h

Podemos chamar v = h x e h = v x :

= lim h → 0 ⁡ l o g b v + 1 v x

Retirar o 1 x   de dentro do limite:

= 1 x lim h → 0 ⁡ 1 v l o g b v + 1

Usando propriedade de logaritmo que fala sobre potências:

= 1 x l i m h → 0 l o g b v + 1 1 / v  

Invertendo o limite:

= 1 x l o g b l i m h → 0 v + 1 1 / v

Vamos considerar que:

l i m h → 0 v + 1 1 v = e

Retornando:

= 1 x l o g b e

Podemos transformar o logaritmo em logaritmo natural:

= 1 x l o g b e = 1 x . l n e l n ⁡ ( b ) = 1 x l n ( b )

Dessa maneira:

d d x l o g b x = 1 x l n ( b )

Resposta

d d x l o g b x = 1 x l n ( b )

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