Enunciado

Encontre uma função   f tal que y = f   ( x ) satisfaz d y / d x   =   e y , com y = - l n ⁡ ( 2 ) quando x   =   0 .

Passo 1

Nós temos que :

d y d x = e y

Como a derivada fornecida, e as condições dadas são as mesmas que a do exercício 50 (que provamos que a verificação é correta), vamos utilizar a mesma função como base, substituindo o valor de e 2 por c é a nossa constante que queremos descobrir o valor. Se :

f x = - l n ⁡ ( c - x )

Derivando :

d x d y = - 1 - x + c = 1 x + c  

Passo 2

Agora, podemos igualar as derivadas:

d y d x = d y d x

1 x + c = e y

Aplicando os valores, nas condições dadas, com y   =   - l n ⁡ ( 2 ) quando x   =   0 :

1 0 + c = e - l n ⁡ ( 2 ) = 1 e l n ⁡ ( 2 )

Multiplicando cruzado as frações, temos que:

c = e l n ⁡ ( 2 )

Multiplicando os dois lados da equação pela função logaritmo natural, temos que:

l n ⁡ ( c ) = l n ⁡ ( 2 )

c = 2

Multiplicando os dois lados da função por exponencial:

Logo, a função que satisfaz as condições propostas pelo exercício é:

f x = - l n ⁡ ( 2 - x )

Resposta

f x = - ln ⁡ 2 - x

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