Enunciado

Encontre f ' ( a ) .

f (x) = 3 x^2 - 4 x + 1

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ' ( a ) sabendo que:

f (x) = 3 x^2 - 4 x + 1

f ' ( a ) é a derivada de f ( x ) no ponto a , então a gente vai usar a definição de derivada, que diz que:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f ( a ))/(h)

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h -> 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Temos que:

f (a) = 3 a^2 - 4 a + 1

Substituindo:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (3 (a + h)^2 - 4 (a + h) + 1 - (3 a^2 - 4 a + 1))/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (3 (a^2 + 2 a h + h^2) - 4 (a + h) + 1 - (3 a^2 - 4 a + 1))/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (6 a h + 3 h^2 - 4 h)/(h)

Isolando o h no numerador:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (h (6 a + 3 h - 4))/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) 6 a + 3 h - 4

Agora sim podemos calcular o limite:

f^' (a) = 6 a - 4

Então temos que:

f^' (a) = 6 a - 4

Prontinhoo!

Resposta

f^' (a) = 6 a - 4

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