Enunciado

A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais brilhante dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0 , com uma variação de ± 0,35 . Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no instante t , onde t é medido em dias, foi modelado pela função

B t = 4,0 + 0,35   s e n   2 π t 5,4

a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias.

b) Encontre, correta até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado forneceu uma função que dá o brilho B de uma estrela em função dos tempo t (medido em dias):

B t = 4,0 + 0,35 sen �� 2 π t 5,4

Queremos encontrar a taxa de variação de brilho em função do tempo. E essa taxa de variação nada mais é que a derivada da função em relação ao tempo.

Sendo, precisaremos derivar a função B ( t ) .

Mas perceba que essa função tem um sen ⁡ 2 π t 5,4 . Ou seja, temos uma função dentro do argumento do sen ⁡ o que indica uma função composta. E para sua derivação, precisaremos da regra da cadeia. Sendo:

y = s e n ⁡ 2 π t 5,4

Pode ser entendida como

y = s e n ⁡ u

E sua derivada será dada por:

d y d t = d y d u ⋅ d u d t

No item (b) é pedido a taxa de variação após um dia: basta substituir t = 1 na expressão encontrada no item (a).

Agora vamos lá! 😉

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item(a).

Para isso, vamos precisar da regra da cadeia, que é dada por:

d y d t = d y d u ⋅ d u d t

Ou seja, a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.

Assim, calculando a taxa de variação de brilho em função do tempo utilizando a regra da cadeia, temos:

d B d t = 0,35 ⋅ cos ⁡ 2 π t 5,4 ⋅ d d t 2 π t 5,4

Resolvendo a derivada da função de dentro, temos

d B d t = 0,35 ⋅ cos ⁡ 2 π t 5,4 ⋅ 2 π 5,4

Ajustando um pouco melhor

d B d t = 2 ⋅ 0,35 ⋅ π 5,4   cos ⁡ 2 π t 5,4

O que nos dá:

d B d t = 7 π 54   cos ⁡ 2 π t 5,4

E essa é a taxa de variação.

Passo 3

Neste passo resolvemos o item (b).

Substituindo t = 1 , temos que

d B d t t = 1 = 7 π 54   cos ⁡ 2 π ⋅ 1 5,4 ∴

d B d t t = 1 = 0,16

A conta foi feita com uma calculadora gráfica com o ângulos em radianos.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

a) 7 π 54   cos ⁡ 2 π t 5,4

b) 0,16

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