Encontre f'(a) .

f(x) = x^(-2)

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ' ( a ) sabendo que:

f x = x - 2

Podemos escrever:

f x = 1 x 2

f ' ( a ) é a derivada de f ( x ) no ponto a , então a gente vai usar a definição de derivada, que diz que:

f ' a =   lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Temos que:

f a = 1 a 2

Então:

f a + h = 1 a + h 2

Substituindo:

f ' a =   lim h → 0 ⁡ 1 a + h 2 - 1 a 2 h

Fazendo o mmc no numerador temos:

  lim h → 0 ⁡ a 2 - a + h 2 a 2 a + h 2 1 h

=   lim h → 0 ⁡ a 2 - a 2 + 2 a h + h 2 a 2 h a + h 2

=   lim h → 0 ⁡ - 2 a h - h 2 a 2 h a + h 2

Isolando o h no numerador:

lim h → 0 ⁡ h - 2 a - h a 2 h a + h 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 a - h a 2 a + h 2

Agora sim podemos calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ - 2 a - h a 2 a + h 2 = - 2 a a 2 a 2 = 2 a 3

Então temos que:

f ' a = - 2 a 3

Prontinhoo!

Resposta

f ' a = - 2 a 3

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