Enunciado

23. Como você “removeria a descontinuidade” de f ? Em outras palavras, como você definiria f ( 2 ) no intuito de fazer f continua em 2?

f x = x 2 - x - 2 x - 2

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x 2 - x - 2 x - 2

E pede pra a gente “transformar” ela em uma função contínua em x = 2 . Lembrando que para uma função ser contínua temos que ter:

lim x → a ⁡ f x = f a

De fato percebemos que:

lim x → 2 ⁡ x 2 - x - 2 x - 2 = 0 0

Ou seja, a função aparentemente não é definida em x = 2 , dessa forma ela é descontínua. Reparou no “aparentemente”?! E se a gente tentasse manipular essa função pra remover esse denominador?!

Passo 2

Temos que:

f x = x 2 - x - 2 x - 2

Podemos tentar fatorar essa função, fazendo:

x 2 - x - 2 = x - 2 a x + b

Essa parte é quase que um quebra cabeça! Devemos ter:

- 2 × b = - 1

b = 1

x × a x = x 2

a = 1

Assim:

x 2 - x - 2 = x - 2 x + 1

Podemos conferir essa igualdade:

x - 2 x + 1 = x 2 + x - 2 x - 2 = x 2 - x - 2

Voltando pra nossa função, temos:

f x = x - 2 x + 1 x - 2 = x + 1

Passo 3

Agira vamos voltar pro limite e testar a “nova” função pra ver se deu certo:

lim x → 2 ⁡ x + 1 = 3

Aweeee, descontinuidade removida!

Resposta

Pra remover a descontinuidade devemos fatorar a função, removendo o denominador.

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