Encontre f'(x) :f(x) = (sen(x) * sec(x)) / (1 + xtg(x))

Passo 1

Fala galeraa, temos uma divisãozinha, logo já temos um spoiler de que vamos usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

d d x f x g ( x ) = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Nesse caso, nossa f x = s e n x ∙ s e c x   e g x = 1 + x t g ( x ) .

Vamos relembrar umas derivadas:

d d x s e n x = cos ⁡ x

d d x s e c x = s e c x ∙ t g x

d d x t g x = sec 2 ⁡ x

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Outras coisinhas que precisamos recordar:

s e c 2 x = 1 + t g 2 x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Passo 2

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos resolver as derivadas que vamos usar:

d d x s e n x ∙ s e c x

Para resolver, vamos ter que usar a regra do produto, que nada mais é que derivar a primeira funçãozinha( s e n x ) e multiplicar pela segunda ( s e c x ) e somar com a primeira multiplicada pela derivada da segunda:

d d x s e n x ∙ s e c x = sen ⁡ x ' ∙ s e c x + s e n x s e c x '

= cos ⁡ x ∙ sec ⁡ x + s e n ( x ) ( s e c x ∙ t g x )

= cos ⁡ x ∙ 1 c o s x + s e n x 1 c o s x ∙ s e n x cos ⁡ x

= 1 + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

= 1 + t g 2 x

= s e c 2 ( x )

A próxima derivada que precisamos resolver:

d d x 1 + x t g ( x )

A derivada da soma é igual à soma das derivadas:

d d x 1 + x t g ( x ) = d d x 1 + d d x x t g ( x )

Derivada de constante é 0, e nos sobra apenas:

d d x x t g ( x )

Pela regra do produto:

d d x x t g ( x ) = x ' ∙ t g x + ( x ) ∙ t g x '

= t g x + x s e c 2 ( x )

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia:

f ' x = s e n x ∙ s e c x ' ∙ 1 + x t g x - s e n x ∙ s e c x ∙ 1 + x t g x ' 1 + x t g x 2

( s e c 2 x ) ∙ 1 + x t g x - s e n x ∙ s e c x ∙ ( t g x + x s e c 2 ( x ) ) 1 + x t g x 2

Passando tudo pra forma s e n ( x ) e c o s ( x ) :

1 cos 2 ⁡ x   ∙ 1 + x s e n x cos ⁡ x - s e n x ∙ 1 c o s x ∙ s e n x cos ⁡ x + x 1 cos 2 ⁡ x 1 + x t g x 2

1 cos 2 ⁡ x + x s e n x cos 3 ⁡ x - s e n ⁡ ( x ) c o s x ∙ s e n x cos ⁡ x + x 1 cos 2 ⁡ x 1 + x t g x 2

1 cos 2 ⁡ x + x s e n x cos 3 ⁡ x - sen 2 ⁡ ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ⁡ ( x ) + x s e n ⁡ ( x ) cos 3 ⁡ x 1 + x t g x 2

1 cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ⁡ ( x ) 1 + x t g x 2

1 - sen 2 ⁡ ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ x 1 + x t g x 2

cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 + x t g x 2

Assim, temos:

f ' x = 1 1 + x t g x 2

Resposta

f ' x = 1 1 + x t g x 2

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