Enunciado

Encontre f^' ( x ) : f (x) = (s e n (x) * s e c (x))/(1 + x t g ( x ))

Passo 1

Fala galeraa, temos uma divisãozinha, logo já temos um spoiler de que vamos usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Nesse caso, nossa f (x) = s e n (x) * s e c (x) e g (x) = 1 + x t g ( x ) .

Vamos relembrar umas derivadas:

(d)/(d x) (s e n (x)) = cos (x)

(d)/(d x) (s e c (x)) = s e c (x) * t g (x)

(d)/(d x) (t g (x)) = sec^2 (x)

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Outras coisinhas que precisamos recordar:

s e c^2 (x) = 1 + t g^2 (x)

sec (x) = (1)/(cos (x))

Passo 2

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos resolver as derivadas que vamos usar:

(d)/(d x) (s e n (x) * s e c (x))

Para resolver, vamos ter que usar a regra do produto, que nada mais é que derivar a primeira funçãozinha( s e n (x) ) e multiplicar pela segunda ( s e c (x) ) e somar com a primeira multiplicada pela derivada da segunda:

(d)/(d x) (s e n (x) * s e c (x)) = (sen (x))^' * (s e c (x)) + (s e n (x)) (s e c (x)) '

= cos (x) * sec (x) + s e n ( x ) ( s e c (x) * t g (x) )

= cos (x) * (1)/(c o s (x)) + s e n (x) ((1)/(c o s (x)) * (s e n (x))/(cos (x)))

= 1 + ((sen^2 (x))/(cos^2 (x)))

= 1 + t g^2 (x)

= s e c^2 ( x )

A próxima derivada que precisamos resolver:

(d)/(d x) (1 + x t g ( x) )

A derivada da soma é igual à soma das derivadas:

(d)/(d x) (1 + x t g ( x) ) = (d)/(d x) (1) + (d)/(d x) (x t g ( x) )

Derivada de constante é 0, e nos sobra apenas:

(d)/(d x) (x t g ( x) )

Pela regra do produto:

(d)/(d x) (x t g ( x) ) = (x)^' * (t g (x)) + ( x ) * (t g (x)) '

= t g (x) + x s e c^2 ( x )

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia:

f^' (x) = ((s e n (x) * s e c (x))^' * (1 + x t g (x)) - (s e n (x) * s e c (x)) * (1 + x t g (x)) ')/((1 + x t g (x))^2)

(( s e c^2 (x) ) * (1 + x t g (x)) - (s e n (x) * s e c (x)) * ( t g (x) + x s e c^2 ( x ) ))/((1 + x t g (x))^2)

Passando tudo pra forma s e n ( x ) e c o s ( x ) :

(((1)/(cos^2 (x))) * (1 + (x s e n (x))/(cos (x))) - (s e n (x) * (1)/(c o s (x))) * ((s e n (x))/(cos (x)) + x (1)/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x)) + (x s e n (x))/(cos^3 (x))) - ((s e n ( x ))/(c o s (x))) * ((s e n (x))/(cos (x)) + x (1)/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x)) + x (s e n (x))/(cos^3 (x))) - ((sen^2 ( x ))/(cos^2 ( x )) + x (s e n ( x ))/(cos^3 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1)/(cos^2 (x))) - ((sen^2 ( x ))/(cos^2 ( x ))))/((1 + x t g (x))^2)

(((1 - sen^2 ( x ))/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

(((cos^2 (x))/(cos^2 (x))))/((1 + x t g (x))^2)

Assim, temos:

f^' (x) = (1)/((1 + x t g (x))^2)

Resposta

f^' (x) = (1)/((1 + x t g (x))^2)

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