Encontre dy/dx

y = raiz(x) \* t \* g^3(raiz(x))

Passo 1

Vamos aplicar d / d x de ambos os lados! Ficamos com:

d y d x = d x   t g 3 ( x ) d x

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

d y d x = x ' *   t g 3 ( x ) + x *   t g 3 ( x ) '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

x ' *   t g 3 ( x )

1 2 x *   t g 3 ( x )

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

x *   t g 3 x '

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

f ' g x = 3 t g 2 x

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x =   t g ( x )

Para fazer essa derivada vamos precisar de outra regra da cadeia!

  t g ( x ) ' = a ' b x * b ' x

a x = t g x

a ' x = sec 2 ⁡ x

Como b x = x , ficamos com

a ' b x = sec 2 ⁡ ( x )

b x = x

b ' x = 1 2 x

Agora, a nossa regra da cadeia de a b x ' ficamos com

sec 2 ⁡ ( x ) * 1 2 x

E esse é o nosso g ' x

g ' x = sec 2 ⁡ x 2 x

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é s e n 2 5 x '

  t g 3 x ' = 3 t g 2 x * sec 2 ⁡ x 2 x

  t g 3 x ' = 3 t g 2 x *sec 2 ⁡ x 2 x

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

d y d x = x ' *   t g 3 ( x ) + x *   t g 3 ( x ) '

d y d x = 1 2 x * t g 3 x + x * 3 t g 2 x *sec 2 ⁡ x 2 x

Simplificando x na segunda parte da equação ficamos com

d y d x = t g 3 x 2 x + 3 sec 2 ⁡ x   t g 2 ( x ) 2

Resposta

d y d x = t g 3 x 2 x + 3 sec 2 ⁡ x   t g 2 ( x ) 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados