Enunciado

Encontre f ' ( x )

f (x) = sqrt(cos (5 x))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = sqrt(x)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = c o s ( 5 x )

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = sqrt(x)

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

Como g (x) = c o s ( 5 x ) , ficamos com

f^' (g (x)) = (1)/(2 sqrt(cos (5 x)))

Agora para g ( x )

g (x) = c o s ( 5 x )

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

(u (v (x)))^' = u^' (v (x)) * v ' ( x )

u (x) = c o s ( x )

u^' (x) = - s e n ( x )

u^' (v (x)) = - s e n ( 5 x )

v (x) = 5 x

v^' (x) = 5

Então nossa g^' (x) fica:

g^' (x) = u^' (v (x)) * v ' ( x )

g^' (x) = s e n (5 x) * ( - 5 )

g^' (x) = - 5 s e n ( 5 x )

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = (1)/(2 sqrt(cos (5 x))) * ( - 5 s e n (5 x) )

(f (g (x)))^' = - (5 s e n (5 x))/(2 sqrt(cos (5 x)))

Resposta

(f (g (x)))^' = - (5 s e n (5 x))/(2 sqrt(cos (5 x)))

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