Enunciado

Encontre o ângulo agudo entre as retas.

x + 2 y = 7 , 5 x - y = 2

Passo 1

Para resolvermos esse problema, utilizamos a formula:

cos theta = (a * b)/(|a| |b|)

“Ah mas não temos os vetores”, temos sim, olha só! A linha x + 2 y = 7 :. y = (- x + 7)/(2) , tem a inclinação - (1)/(2) , então um vetor paralelo à linha é a = < 1 , - (1)/(2) > .

Já a linha 5 x - y = 2 :. y = 5 x - 2 , tem inclinação 5 , então um vetor paralelo à linha é b = < 1 , 5 > . O ângulo entre as linhas é o mesmo que o ângulo theta entre os vetores.

Assim, podemos calcular!!!

Passo 2

Fazendo o produto escalar a * b :

a * b = < 1 , - (1)/(2) > * < 1 , 5 > = (1) (1) + (- (1)/(2)) (5) = 1 - (5)/(2) = - (3)/(2)

Agora para o módulo:

|a| = sqrt(1^2 + ( - (1)/(2) )^2) = (sqrt(5))/(2)

|b| = sqrt(( 1 )^2 + ( 5 )^2) = sqrt(26)

Pronto! Podemos substituir na nossa fórmula inicial

cos theta = (- (3)/(2))/((sqrt(5))/(2) * sqrt(26))

theta = cos^(- 1) ( - (3 sqrt(130))/(130) )

theta = cos^(- 1) ( - 0,26 )

theta = pi - c o s^(- 1) ((13)/(50)) = 1,31

Em graus:

theta = 75 °

Finish

Resposta

theta = 75 °

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