Enunciado

Encontre a área exata sob a curva cosseno y = cos ⁡ x de x = 0 até x = b , onde 0 ≤ b ≤ π / 2 . (Use um sistema de computação algébrica para calcular a soma e o limite.) Em particular, qual é a área, se b = π / 2 ?

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! A gente precisa calcular a área exata sob a curva de y = cos ⁡ x de x = 0 até x = b , onde 0 ≤ b ≤ π / 2 . Pra isso vamos primeiro ver como é essa curva:

O ponto π 2 é a raiz da curva, aproximadamente igual a 1,57 . Mas esse gráfico é só pra deixar o problema mais palpável mesmo, a fórmula que iremos usar pra calcular a área é essa daqui:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i . ∆ x

Passo 2

Para usar a fórmula acima precisamos de duas coisas f x i   e   ∆ x . Começando pelo espaçamento:

∆ x = b - a n

Conhecemos a , que é igual a zero mas b esta variando entre 0 e π 2 , então:

∆ x = b - 0 n = b n

Agora precisamos descobrir qual o x i , utilizando a seguinte fórmula:

x i = a + i . ∆ x

Vamos substituir:

x i = 0 + i . b n = b i n

Assim podemos dizer que:

f x i = cos ⁡ x i = cos ⁡ b i n

Agora vamos substituir os dados que conseguimos na fórmula da área:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i . ∆ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ b i n . b n

Agora vamos utilizar o sistema de computação algébrica para calcular a soma:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ b i n . b n = l i m n → ∞   b . s e n   b 2 n + b 2 n . s e n b 2 n - b 2 n

O programa também é capaz de simplificar este limite:

l i m n → ∞   b . s e n   b 2 n + b 2 n . s e n b 2 n - b 2 n = s e n   b

Sendo assim,

A = s e n   b

Passo 3

Pra acabar vamos calcular A quando b = π 2 :

A = s e n   b

A = s e n π 2 = 1  

Resposta

A = s e n   b     e     A = s e n π 2 = 1

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