Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais da função
  2. y = x x 2 - x - 2

  3. Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.

Passo 1

Olá, meu querido e nobre amigo. Yuri aqui, expert do Responde Aí, e estarei aqui para te ajudar a resolver essa atividade.

O enunciado é bem direto e reto sobre o que ele quer da gente, precisamos encontrar as assíntotas verticais da função e depois confirmar a nossa resposta olhando o gráfico da função. Temos assíntotas verticais, horizontais e inclinadas (oblíquas).

As assíntotas verticais, que são as que iremos encontrar aqui, são linhas verticais que a função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima de um valor específico.

Em outras palavras, temos uma assíntota em x = a , se a função vai pro infinito (positivo ou negativo) quando x tende a a :

lim x → a ⁡ f ( x ) = ± ∞

Geralmente onde a função possui uma descontinuidade, como um ponto onde o denominador se anula.

Pois veja bem, se temos uma função como

1 x

Qual valor dessa função que podemos nos aproximar, mas nunca poderemos encostar, e consequentemente seu limite irá tender ao infinito?

x = 0

justamente sua assíntota vertical. Então o que iremos fazer aqui nessa questão é a mesma análise, iremos procurar pontos de descontinuidade ou pontos onde o denominador da nossa função se aluna, que são pontos onde o limite da nossa função tende ao infinito.

Passo 2

Letra a)

Primeiro de tudo, iremos então fatorar nosso denominador, e assim iremos visualizar melhor os pontos onde ele se anula:

x 2 - x - 2 = 0

Aplicando Bashkara:

Δ = 1 - 4 1 - 2

Δ = 9

x = - b ± Δ 2 a

Encontrando as raízes

x = 1 ± 9 2 1

x ' = 4 2 = 2

x ' ' = 1 - 3 2 = - 1

Agora vamos analisar nossa função:

y = x ( x + 1 ) ( x - 2 )

Quais pontos podem levar ao infinito o limite dessa função?

x = - 1 ,   x = 2

Vamos agora então calcular os limites dessa função utilizando os valores de x , que encontramos. Iremos calcular os limites laterais dessa função, pois assim saberemos para quais sentidos, positivos e negativos do eixo y , nossas assíntotas vão.

Passo 3

Então temos o cálculo do limite lateral x → - 1 + , e o que acontece com o termo - 1 + + 1 é que teremos uma divisão de 1 por um valor infinitesimalmente pequeno, já que - 1 + é um valor tão próximo de - 1 quanto quisermos, mas não - 1 e maior que ele

lim x → - 1 + ⁡ x ( x + 1 ) ( x - 2 )

Substituindo - 1 + na equação teremos o termo 1 3 , que vem de 1 ( - 1 - 2 ) , onde ser infinitesimalmente maior ou menor que 1 não faz diferença, e que por ser constante pode sair do limite.

1 3 lim x → - 1 + ⁡ 1 - 1 + + 1 = ∞

Isso significa que quando nos aproximarmos a - 1 por valores infinitesimalmente maior que - 1 nossa função irá ‘explodir’ para valores grandes positivos, mas nunca irá chegar na reta x = 1 .

Agora para - 1 -

lim x → - 1 - ⁡ x ( x + 1 ) ( x - 2 )

Substituindo - 1 - na equação teremos o termo 1 3 , que vem de 1 ( - 1 - 2 ) e que por ser constante pode sair do limite, e uma análise análoga ocorre em torno do termo - 1 - + 1 , porém agora somos infinitesimalmente menores que 1 .

1 3 lim x → - 1 - ⁡ 1 - 1 - + 1 = - ∞

Isso significa que quando nos aproximarmos a - 1 por valores infinitesimalmente menor que - 1 nossa função irá ‘explodir’ para valores grandes negativos, mas nunca irá chegar na reta x = 1 .

Passo 4

Iremos fazer o mesmo agora para x = 2 :

lim x → 2 + ⁡ x ( x + 1 ) ( x - 2 )

2 3 lim x → 2 + ⁡ 1 2 + - 2 = ∞

A explicação para o comportamento do infinito é a mesma para o que fizemos anteriormente.

Agora para x = 2 - :

lim x → 2 - ⁡ x ( x + 1 ) ( x - 2 )

2 3 lim x → 2 - ⁡ 1 2 - - 2 = - ∞

Com tudo que nos foi demonstrado, sabemos então que temos duas assíntotas verticais, em x = - 1   e   x = 2

Passo 5

Letra b)

Agora vamos de gráficos, vou utilizar o GeoGebra para que possamos visualizarmos se o que fizemos está correto:

Veja que nossas conclusões sobre os sentidos de crescimento em relação as assíntotas e os valores das nossas assíntotas estão corretos.

Nos pontos de descontinuidade da função, quando o denominador se anularia, ela não está definida e explode pro infinito.

É isso, um forte abraço e até a próxima.

Resposta

( a ) x = - 1   e   x = 2

( b )

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