Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = x tg ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, e como f não está definida para x = ± π 2 , temos as assíntotas verticais:

lim x → π 2 ⁡ f ( x ) = lim x → π 2 - ⁡ x tg ⁡ x = ∞

E

lim x → - π 2 ⁡ f ( x ) = lim x → - π 2 + ⁡ x tg ⁡ x = ∞

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos, nessa questão, isso não nos interessa pois o domínio está restrito a valores de x tal que - π 2 < x < π 2 , ou seja, x não vai para os infinitos.

Passo 2

Item b:

Se

f x = x tg ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Então:

f ' x = tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Para f crescente:

f ' x > 0

tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x > 0

x > 0

Para f decrescente:

f ' x < 0

tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x < 0

x < 0

Então f é decrescente para valores de x no intervalo - π 2 . 0 e crescente no intervalo 0 , π 2 .

Passo 3

Item c:

Se f decresce até x = 0 e cresce a partir dele, então f possui mínimo local nesse ponto e o valor desse mínimo local é:

f 0 = 0 tg ⁡ 0

f 0 = 0

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Então:

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x + 2 x sec 2 ⁡ x tg ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x 1 + x tg ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

2 sec 2 ⁡ x 1 + x tg ⁡ x > 0

1 + x tg ⁡ x > 0

Para todo x do domínio( - π 2 < x < π 2 )  

Então, f possui concavidade para cima em todo o seu domínio. E consequentemente não tem ponto de inflexão.

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → π 2 ⁡ f ( x ) = lim x → π 2 - ⁡ x tg ⁡ x = ∞

lim x → - π 2 ⁡ f ( x ) = lim x → - π 2 + ⁡ x tg ⁡ x = ∞

(b) f é decrescente para valores de x no intervalo - π 2 . 0 e crescente no intervalo 0 , π 2 .

(c) f possui mínimo local no ponto 0,0

(d) f possui concavidade para cima em todo o seu domínio. E consequentemente não tem ponto de inflexão.

(e)

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