Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 49
(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Passo 1
Item a:
A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de quando converge para o valor onde a função não está definida. Sabemos que a não existe logaritmo natural de números menores ou iguais a zero. Então:
e
Logo, só está definida para , então as assíntotas são:
E
As assíntotas horizontais são os valores que converge quando tende aos infinitos, nessa questão, isso não nos interessa pois o domínio está restrito a valores de tal que , ou seja, não vai para os infinitos
Passo 2
Item b:
Se
Então:
Para crescente:
Não existe solução no domínio de
Para decrescente:
Para todo o domínio de .
Então é decrescente em todo o seu domínio.
Passo 3
Item c:
Se é decrescente em todo o seu domínio então não possui máximo nem mínimo local.
Passo 4
Item d:
Se
Então:
Para com concavidade para baixo:
Para com concavidade para cima:
Então, possui concavidade para baixo para valores de no intervalo e concavidade para cima no intervalo . Logo, o ponto de inflexão é em .
Passo 5
Item e:
Pelas informações obtidas temos o gráfico:
Resposta
(a)
(b) é decrescente em todo o seu domínio.
(c) não possui máximo nem mínimo local.
(d) possui concavidade para baixo para valores de no intervalo e concavidade para cima no intervalo . Logo, o ponto de inflexão é em .
(e)