Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ x

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida. Sabemos que a não existe logaritmo natural de números menores ou iguais a zero. Então:

1 - ln ⁡ x > 0 e x > 0

ln ⁡ x < 1

x < e

Logo, f só está definida para 0 < x < e , então as assíntotas são:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 - ln ⁡ x = ∞

E

lim x → e - ⁡ f ( x ) = lim x → e - ⁡ ln ⁡ 1 - ln ⁡ x = - ∞

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos, nessa questão, isso não nos interessa pois o domínio está restrito a valores de x tal que 0 < x < e , ou seja, x não vai para os infinitos

Passo 2

Item b:

Se

f x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ x ,     0 < x < e

Então:

f ' x = - 1 x 1 - ln ⁡ x ,     0 < x < e

Para f crescente:

f ' x > 0

- 1 x 1 - ln ⁡ x > 0

Não existe solução no domínio de f

Para f decrescente:

f ' x < 0

- 1 x 1 - ln ⁡ x < 0

Para todo o domínio de f .

Então f é decrescente em todo o seu domínio.

Passo 3

Item c:

Se f é decrescente em todo o seu domínio então não possui máximo nem mínimo local.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = - 1 x 1 - ln ⁡ x ,     0 < x < e

Então:

f ' ' x = - ln ⁡ x x 2 1 - ln ⁡ x 2 ,     0 < x < e

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

- ln ⁡ x x 2 1 - ln ⁡ x 2 < 0

ln ⁡ x > 0

1 < x < e

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

- ln ⁡ x x 2 1 - ln ⁡ x 2 > 0

ln ⁡ x < 0

0 < x < 1

Então, f possui concavidade para baixo para valores de x no intervalo ( 1 , e ) e concavidade para cima no intervalo ( 0,1 ) . Logo, o ponto de inflexão é em x = 1 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 - ln ⁡ x = ∞

lim x → e - ⁡ f ( x ) = lim x → e - ⁡ ln ⁡ 1 - ln ⁡ x = - ∞

(b) f é decrescente em todo o seu domínio.

(c) f não possui máximo nem mínimo local.

(d) f possui concavidade para baixo para valores de x no intervalo ( 1 , e ) e concavidade para cima no intervalo ( 0,1 ) . Logo, o ponto de inflexão é em x = 1 .

(e)

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