Enunciado

Encontre o centroide da região limitada pelo eixo x e a metade superior da elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 3 6 .

Passo 1

Então pessoal, o centroide de uma região é dado pelos pontos x - , y - , no qual essas coordenadas significam o seguinte:

x - = M y A   e   y - = M x A

Mas po, o que são esses M y e M x ? São os momentos da região R em relação a y e em relação a x , respectivamente. Eles são definidos como:

M y = ∫ a b x f x d x

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x

Como o gráfico é simétrico, segundo a definição temos que M y = 0 e, portanto, x - = 0 também! Agora só falta conseguirmos determinar y - , não é mesmo? Antes disso, vamos pegar a equação da elipse que nos foi dada e vamos isolar y , a fim de descobrir f ( x ) :

4 y 2 = 36 - 9 x ²

y 2 = 9 4 ( 4 - x 2 )

∴ y = f x = 3 2 4 - x ²

Passo 2

De acordo com o que foi discutido no passo 1, temos:

y - = M x A ⇒ y - = 1 2 ∫ a b f x 2 d x A

De acordo com a seção 7.3 do Stewart, a área de uma elipse é definida como π a b , mas como estamos integrando apenas metade da área, então teremos:

1 2 π a b = 1 2 π . 3.2 = 3 π

Aqui vale ressaltar que os valores de a e b são retirados da elipse, ok? No nosso caso, a elipse tem a seguinte forma:

x 2 4 + y 2 9 = 1

Comparando com o formato padrão de uma equação de elipse, que é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Podemos tirar que a = 2 e b = 3 , tranquilão? Substituindo o valor de A em y - , teremos:

y - = 1 3 π . 1 2 ∫ - 2 2 3 2 4 - x ² 2 d x

Passo 3

Agora que temos uma integral para resolver, vamos resolve-la uai!!! Simplificando o integrando, teremos:

y - = 1 6 π . 9 4 ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

y - = 3 8 π ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

Utilizando a regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Teremos:

y - = 3 8 π . 4 x - x 3 3 2 - 2

y - = 3 8 π 32 3 ∴ y - = 4 π

Sendo assim, o centroide está em 0 , 4 π .

Resposta

x - , y - = 0 , 4 π

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