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Encontre o coefiente angular da curva x 3 y 3 + y 2 = x + y nos pontos 1,1 , 1 , - 1

Passo 1

Para encontrarmo o coeficiente angular, precisamos da derivada nos pontos que ele deu.

Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que os pontos de fato estão na curva. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.

Subistuindo:

x = 1 ,     y = 1

x 3 y 3 + y 2 = x + y

Vamos ter:

1 3 1 3 + 1 2 = 1 + 1

1 + 1 = 1 + 1

2 = 2

Ufa, deu igual dos dois lados. Vamos para o outro ponto

x = 1 ,     y = - 1

x 3 y 3 + y 2 = x + y

Vamos ter:

1 3 - 1 3 + - 1 2 = 1 + - 1

- 1 + 1 = 1 - 1

0 = 0

Ufa, deu igual dos dois lados. Vamos para a derivada implícita agora

Passo 2

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y x

Então quando derivarmos y , temos que colocar y ' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com x + y ,

x + y ' = x ' + y ' = 1 + y '

O lado direito vai ficar:

1 + y '

Passo 3

Vamos para o outro lado

x 3 y 3 + y 2 ' = x 3 y 3 ' + y 2 '

No primeiro termo devesmo usar a regra do produto. E não podemos esquecer de jeito nenhum o y ' sempre que derivarmos algo com y

x 3 y 3 ' + y 2 ' = x 3 ' y 3 + x 3 y 3 ' + y 2 '

x 3 y 3 ' + y 2 ' = 3 x 2 y 3 + x 3 3 y 2 y ' + 2 y y '

3 x 2 y 3 + 3 y 2 x 3 y ' + 2 y y '

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

3 x 2 y 3 + 3 y 2 x 3 y ' + 2 y y ' = 1 + y '

Vamos isolar o y '

3 y 2 x 3 y ' + 2 y y ' - y ' = 1 - 3 x 2 y 3

Colocado o y ' em evidência:

y ' 3 y 2 x 3 + 2 y - 1 = 1 - 3 x 2 y 3

y ' = 1 - 3 x 2 y 3 3 y 2 x 3 + 2 y - 1

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos achar o valor do coeficiente angular:

Primeiro em 1,1

y ' 1,1 = 1 - 3 1 2 1 3 3 1 2 1 3 + 2 1 - 1

y ' 1,1 = 1 - 3 3 + 2 - 1

y ' 1,1 = - 2 4

y ' 1,1 = - 1 2

Agora em 1 , - 1

y ' 1 , - 1 = 1 - 3 1 2 - 1 3 3 - 1 2 1 3 + 2 - 1 - 1

y ' 1 , - 1 = 1 + 3 3 - 2 - 1

y ' 1 , - 1 = 4 0

Eita rapaz, como divide por 0 ? Relaxa, é que na verdade a derivada não vai estar definida nesse ponto.

Resposta

y ' 1,1 = - 1 2

y ' 1 , - 1 → n ã o   e s t á   d e f i n i d a

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