Enunciado

43. Ache uma equação das retas normais à curva y = x 3 - 4 x   que sejam paralelas à reta x + 8 y - 8 = 0     .

Passo 1

A questão disse que a reta normal é paralela a reta x + 8 y - 8 = 0   , mas para que duas retas sejam paralelas é preciso que ambas tenham a mesma inclinação, olha só a ilustração disso:

Figura SEQ Figura \* ARABIC 1: duas retas paralelas tem a mesma inclinação

Então vamos isolar o y da reta dada para descobrirmos sua inclinação, o m:

x + 8 y - 8 = 0

8 y = - x + 8

y = - x + 8 8

y = - 1 8 x + 1  

Só lembrando, uma equação da reta pode ser escrita como:

y = m x + b

E o m é o valor que está colado ao x, então, no nosso m n é - 1 8 .

Passo 2

iremos encontrar as coordenadas do ponto através da derivada que é igual a inclinação da reta tangente( m t ) .

y = x 3 - 4 x

m t = y ' = 3 x 2 - 4

Mas sabemos que

m t = - 1 m n

Substituindo o m t que acabamos de calcular e o m n do passo anterior:

3 x 2 - 4   = - 1 - 1 8

3 x 2 - 4 = 8

Isolando o x :

3 x 2 = 12

x 2 = 4

x = ±   2

A questão só pede uma equação da reta, então, só precisamos de um valor de x.

Vamos pegar o x = 2 .

Falta só a coordenada y do ponto.

Então, substituindo o valor de x que encontramos na equação da curva:

y = x 3 - 4 x

y = ( 2 ) 3 - 4 ⋅ ( 2 )

y = 0

Portanto, nosso ponto tem coordenaas x = 2 e y = 0 .

Passo 3

Equação da reta normal:

y - y 0 = m n ( x - x 0 )

Substituindo o que já encontramos:

y - 0 = - 1 8 ( x - 2 )

y = - x 8 + 1 4

Resposta

y = - x 8 + 1 4

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