Enunciado

Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.

r → t = ln ⁡ t i → + t 2 + 3 t j → + 4 t   k →   ,     ( 0,4 , 4 )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

r → t = ln ⁡ t i → + t 2 + 3 t j → + 4 t   k →

Queremos encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.

Para isso precisamos saber que a componente tangencial é dada por:

a T = r ' → ⋅ r ' ' → r ' →

E a componente normal é dada por:

a N = r ' → ⋅ r ' ' → r ' →

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Queremos encontrar os vetores tangencial e normal. Para isso, primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r .

r ' → = 1 t i → + 2 t + 3   j → + 2 t k →

A norma desse vetor é

r ' → = 1 t 2 + 2 t + 3 2 + 2 t 2

r ' → = 1 + 4 t 4 + 12 t 3 + 9 t 2 + 4 t t 2

E a segunda derivada de r é

r ' ' → = - 1 t 2 i → + 2   j → - 1 t 5 / 2 k →

Passo 3

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r ' → ⋅ r ' ' → r ' →

O produto escalar entre os dois vetores nos dá:

r ' → ⋅ r ' ' → = 1 t , 2 t + 3 , 2 t ⋅ - 1 t 2 , 2 , - 1 t 5 2

r ' → ⋅ r ' ' → = - 1 t 3 + 4 t + 6 - 2 t 3

r ' → ⋅ r ' ' → = - 3 t 3 + 4 t + 6

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T t = - 3 t 3 + 4 t + 6 1 + 4 t 4 + 12 t 3 + 9 t 2 + 4 t t 2

Passo 4

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r ' → e r ' ' → .

Temos:

1 t , 2 t + 3 , 2 t × - 1 t 2 , 2 , - 1 t 5 / 2 = i j k 1 / t 2 t + 3 2 / t - t - 2 2 - t - 5 / 2

Efetuando esse produto vetorial temos:

r ' → × r ' ' → = - 2 t - 3 - 4 t 2 t 5 2 i → + - 2 t + 1 t 7 2   j → + 4 t + 3 t 2   k →

A norma desse vetor é dado por

r ' → × r ' ' → = - 2 t - 3 - 4 t 2 t 5 2 2 + - 2 t + 1 t 7 2 2 + 4 t + 3 t 2 2

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N t = - 2 t - 3 - 4 t 2 t 5 2 2 + - 2 t + 1 t 7 2 2 + 4 t + 3 t 2 2 ⋅ t 2 1 + 4 t 4 + 12 t 3 + 9 t 2 + 4 t

Passo 5

Os vetores aceleração tangencial e normal estão em função do tempo.

Podemos encontrar o tempo referente ao ponto dado ( 0,4 , 4 ) , igualando o vetor r → t = ln ⁡ t i → + t 2 + 3 t j → + 4 t   k →   a ( 0,4 , 4 ) .

Facilmente vemos que para t = 1 , r → 1 = ( 0,4 , 4 ) .

Dessa forma, os vetores aceleração tangencial é:

a T 1 = - 3 + 4 + 6 1 + 4 + 12 + 9 + 4 1

a T 1 = 7 30

E a normal:

a N 1 = - 2 - 3 - 4 1 2 + - 2 + 1 1 2 + 4 + 3 1 2 ⋅ 1 1 + 4 + 12 + 9 + 4

a N 1 = 139 30

Resposta

As componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado são

a T ( 1 ) = 7 30

a N ( 1 ) = 139 30

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