Enunciado

Encontre os vetores velocidade e posição de uma partícula que possui a aceleração dada e velocidade e posição dadas.

a → t = s e n t   i → + 2 c o s t   j → + 6 t   k →

v → 0 = -   k →

r → 0 =   j → -   4 k →

Passo 1

Sabendo que a aceleração é a taxa com que a velocidade varia no tempo, podemos fazer:

v → t = ∫ a → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

v → t = - c o s t   i → + 2 s e n t   j → + 3 t 2   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da velocidade inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da velocidade temos:

v → 0 = - i → + C = -   k → → C = i → - k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da velocidade no tempo é”

v → t = - c o s t   i → + 2 s e n t   j → + 3 t 2   k → + i → - k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

v → t = - c o s t + 1 i → + 2 s e n t   j → + ( 3 t 2 - 1 )   k →

Passo 2

Sabendo que a velocidade é a taxa com que a posição varia no tempo, podemos fazer:

r → t = ∫ v → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da posição inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da posição temos:

r → 0 = - 2   j → + C = j → -   4 k → → C = 3 j → - 4   k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da posição no tempo é:

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + 3 j → - 4   k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

r → t = - s e n t + t i → + - 2 c o s t + 3 j → + t 3 - t - 4 k →

Resposta

Os vetores velocidade e posição da partícula são:

v → t = - c o s t + 1 i → + 2 s e n t   j → + ( 3 t 2 - 1 )   k →

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + 3 j → - 4   k →

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