Enunciado

Encontre a coordenada x do ponto no gráfico de y = x no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4 .

Passo 1

Bom, se a reta tangente à curva y = x deve ser paralela à reta que corta a mesma curva nos pontos x = 1 e x = 4 , elas devem possuir a mesma inclinação! Vale lembrar, também, que a inclinação da reta tangente à curva em um ponto é a derivada da mesma curva naquele mesmo ponto. E queremos a coordenada x desse ponto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar essa reta que corta y = x em x = 1 e x = 4 . Bom, se ela corta a curva nesses pontos, ela também passa por eles, certo? Substituindo x = 1 e x = 4 no y = x encontramos os pares ordenados 1,1 e ( 4 , 2 ) . Nossa reta deve passar por esses pontos e podemos usar essa equação para achar ela:

y = a x + b

Essa é a equação da nossa reta. E substituindo os pontos que achamos:

1 = a + b

2 = 4 a + b

Resolvendo o sistema, vamos multiplicar a primeira equação por - 1 e somar com a segunda:

- a - b = - 1

4 a + b = 2

a = 1 3

E, substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações, achamos:

b = 2 3

Com isso, nossa reta secante é:

y = x 3 + 2 3

Passo 3

Bom, se nossa reta tangente deve a mesma inclinação que a reta secante, sua inclinação é 1 3 (valor de a ). E isso quer dizer que a derivada da função y = x no ponto que queremos deve ser 1 3 também!

Calculando a derivada de y :

y = x = x 1 2

y ' = 1 2 x

E já que a derivada deve ser 1 3 :

1 3 = 1 2 x

x = 3 2

x = 9 4

Essa é justamente a coordenada x que o problema pediu!

Resposta

x = 9 4

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Derive a função: y = 4 π ² ²