Enunciado

Derive a função

H (x) = ( x + x^(- 1) )^3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Foi dada a função

H (x) = ( x + x^(- 1) )^3

E nosso objetivo é calcular a derivada dessa função.

Tem ideia de como fazemos isso? 😎

O que podemos fazer é desenvolver o polinômio e aplicar a regra da potencia para calcular a derivada.

Sabe-se que

(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3

E pela regra da potencia

y = x^a -> y^' = a x^(a - 1)

Veja só! 😉

Passo 2

Fazendo o desenvolvimento da expressão da função, obtemos:

(x + x^(- 1))^3 = x^3 + 3 x^2 x^(- 1) + 3 x x^(- 2) + x^(- 3)

( x + x^(- 1) )^3 = x^3 + 3 x + 3 x^(- 1) + x^(- 3)

Agora sim, derivamos cada termo pela regra da potência.

H^' (x) = (x^3)^' + (3 x)^' + (3 x^(- 1))^' + (x^(- 3))^'

H^' (x) = 3 x^(3 - 1) + 3 x^(1 - 1) - 3 x^(- 1 - 1) - 3 x^(- 1 - 3)

H^' (x) = 3 x^2 + 3 - 3 x^(- 2) - 3 x^(- 4)

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

H^' (x) = 3 x^2 + 3 - 3 x^(- 2) - 3 x^(- 4)

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Encontre uma função y = a x 2 + b x + c cujo gráfico corte o eixo x no ponto 1 , o eixo y em - 2 e que tenha uma reta tangente de inclinação - 1 no ponto de corte com o eixo y .
Mostre que, se x != 0 , então y = (1)/(x) satisfaz a equação x^3 y^(' ') + x^2 y^' - x y = 0 .
Mostre que y = x^3 + 3 x + 1 satisfaz y ' ' ' + x y ' ' - 2 y ' = 0 .
Encontre a coordenada x do ponto no gráfico de y = x no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4 .
Use um recurso gráfico para obter uma estimativa da localização das linhas tangentes horizontais. Depois, encontre a localização exata por diferenciação. y = x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x