Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = cos sqrt(sen (tg pi x))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cos sqrt(sen (tg pi x))

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora vamos aplicar!! 😉

Mas antes vamos dar uma arrumada nessa função:

y = cos ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))

Passo 2

Ah, aqui vamos usar também a regra das funções trigonométricas:

Da função trigonométrica cosseno:

(cos (x))^' = - sen (x)

Da função trigonométrica seno:

(sen (x))^' = cos (x)

Da função trigonométrica tangente:

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Passo 3

Usamos as quatro regras para calcular y ' , vamos lá:

y^' = (cos ((sen (tg pi x))^((1)/(2))))^' :.

y^' = (- sen ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))) ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))^'

Agora precisamos resolver essa derivada que nos restou!

Passo 4

Vamos calcular ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))^' separadamente, para não confundir.

Aplicando a regra da cadeia novamente, temos:

((sen (tg pi x))^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (sen (tg pi x))^((1)/(2) - 1) (sen (tg pi x))^' :.

((sen (tg pi x))^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (sen (tg pi x))^(- (1)/(2)) (sen (tg pi x))^'

Mais uma derivada que nos restou!! Bora resolver ela ein haha

Passo 5

Novamente, vamos calcular de forma separada, e depois é só substituir de volta.

Aplicando novamente a regra da cadeia, temos:

(sen (tg pi x))^' = cos (tg pi x) (tg pi x)^' :.

(sen (tg pi x))^' = cos (tg pi x) sec^2 (pi x) (pi x)^' :.

(sen (tg pi x))^' = cos (tg pi x) sec^2 (pi x) pi x^(1 - 1) :.

(sen (tg pi x))^' = cos (tg pi x) sec^2 (pi x) pi x^0 :.

(sen (tg pi x))^' = cos (tg pi x) sec^2 (pi x) pi

Passo 6

Pronto, agora é só substituir tudo de volta.

No passo 3, tínhamos:

y^' = (- sen ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))) ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))^' :.

Aplicando o resultado do passo 4, obtemos:

y^' = (- sen ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))) (1)/(2) (sen (tg pi x))^(- (1)/(2)) (sen (tg pi x))^'

Aplicando agora o resultado do passo 5, temos:

y^' = (- sen ((sen (tg pi x))^((1)/(2)))) (1)/(2) (sen (tg pi x))^(- (1)/(2)) cos (tg pi x) sec^2 (pi x) pi

Reorganizando, temos:

y^' = (- pi sen (sqrt(sen (tg pi x))) cos (tg pi x) sec^2 (pi x))/(2 sqrt(sen (tg pi x)))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = (- pi sen (sqrt(sen (tg pi x))) cos (tg pi x) sec^2 (pi x))/(2 sqrt(sen (tg pi x)))

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Determine a derivada.g (t) = ln (2 t + 1)
Determine a derivada.x = e^(sen t)
Determine a derivada.y = sqrt(x + e^x)
Determine a derivada.y = cos 5 x
Determine a derivada.y = sec 3 x