Determine a derivada.

x = e^(sen(t))

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função trigonométrica em uma função exponencial, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

x ' = d x d t = d x d u ⋅ d u d t

Onde u = g t .

Passo 2

Temos que g t é a função mais de dentro e x = f t a função mais de fora:

u = g t = sen ⁡ t

Assim:

x = f t = e u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica, vamos dá uma olhada nelas:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Agora é só aplicar, vamos lá?

x ' = d x d t = d x d u ⋅ d u d t = d d u e u ⋅ d d t sen ⁡ t = e u . cos ⁡ t = e u . u 1 - 1 ⋅ cos ⁡ t = e u . u 0 ⋅ cos ⁡ t = e u . 1 ⋅ cos ⁡ t = e u cos ⁡ t

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

x ' = e u cos ⁡ t = e sen ⁡ t cos ⁡ t

Resposta

x ' = e sen ⁡ t cos ⁡ t

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