Encontre a derivada da função dada:

H(x) = ln(raiz(x^2 + 1)) - x \* tgh^(-1)(x)

Passo 1

Vamos começar escrevendo a raiz como potência

x 2 + 1 = x 2 + 1 1 2

Nossa função vai ficar

H x = ln ⁡ x 2 + 1 1 2 - x tgh - 1 ⁡ x

H x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - x tgh - 1 ⁡ x

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui.

Começando com:

F x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F x = g h x

Com

g x = 1 2 ln ⁡ x

h x = x 2 + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = g ' h x h ' x

Temos

g ' x = 1 2 x

Então

F ' x = 1 2 h x 2 + 1 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = x 2 + 1 → h ' x = 2 x

Vamos ter

F ' x = 1 2 x 2 + 1 2 + 1 2 x

F ' x = x x 2 + 1 2 + 1

Passo 3

Vamos agora para a derivada de

x tgh - 1 ⁡ x

Aqui, vamos usar a regra do produto.

x tgh - 1 ⁡ x ' = x ' tgh - 1 ⁡ x + x tgh - 1 ⁡ x '

A derivada de tgh - 1 ⁡   é

tgh - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Logo

x tgh - 1 ⁡ x ' = tgh - 1 ⁡ x + x 1 - x 2

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

H ' x = F ' x - x tgh - 1 ⁡ x '

H ' x = x x 2 + 1 2 + 1 - tgh - 1 ⁡ x - x 1 - x 2

Resposta

H ' x = x x 2 + 1 2 + 1 - tgh - 1 ⁡ x - x 1 - x 2

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